Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral arctg(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral arctan(x),dx
Usaremos o método de integração por partes, cujo conteúdo é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arctan(x), dv = dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = integral dv = x

Passo 3

Aplicando a fórmula por partes:
integral arctan(x),dx = u,v - integral v,du = xarctan(x) - integral xcdot11+x^2,dx
Para resolver integral x1+x^2,dx, fazemos a substituição simples w=1+x^2, dw=2x,dx, logo
integral x1+x^2,dx = 12 integral dww = 12 lnl|wr| + C = 12 lnl(1+x^2r) + C

Resposta

integral arctan(x),dx = xarctan(x) - 12 lnl(1+x^2r) + C

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