Aplicando o método de integração por partes, calcule:
integral x ln (x^-1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x lnl(x^-1r),dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e de manipular logaritmos.

Passo 2

Observe que
lnl(x^-1r) = -ln x,
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integral x lnl(x^-1r),dx = -integral x ln x ,dx

Passo 3

Para aplicar integração por partes em integral xln x,dx, escolhemos
u = ln x, dv = x,dx
Então
du = dxx, v = integral x,dx = x^22

Passo 4

Pela fórmula de partes,
integral xln x,dx = u,v - integral v,du = x^22ln x - integral x^22cdotdxx = x^22ln x - integral x2,dx
Calculando a última integral,
integral x2,dx = 12cdotx^22 = x^24
Assim,
integral xln x,dx = x^22ln x - x^24 + C1

Passo 5

Voltando à integral original com o sinal negativo,
integral x lnl(x^-1r),dx = -l(x^22ln x - x^24r) + C = -x^22ln x + x^24 + C

Resposta

-x^22ln x + x^24 + C

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