Lista de Exercícios
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. Esse exercício está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e manipulação algébrica das expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ u = 2 + \sin(x) $. Assim, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir na integral.
Passo 3
Calculando a derivada de $ u $:
Isso significa que $ du = \cos(x) , dx $. Olha só que bom, já temos um
na nossa integral original!
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de $ u $. Observa que temos
na integral original. Podemos separar isso em
. Já sabemos que $ \cos(x) , dx = du $, então precisamos expressar $ \cos^{2}(x) $ em termos de $ u $.
Passo 5
Lembrando que $ \cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x) $. E como $ u = 2 + \sin(x) $, podemos isolar $ \sin(x) $:
Então,
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Agora, vamos expandir a expressão dentro do parêntese para facilitar a integração.
Passo 7
Expandindo $ (u - 2)^{2} $:
Então,
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos distribuir $ \sqrt{u} $ dentro dos termos:
Lembrando que $ \sqrt{u} = u^{1/2} $, podemos simplificar os expoentes.
Passo 9
Simplificando os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Juntando tudo, a antiderivada é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 12
Agora, vamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ u = 2 + \sin(x) $, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a: