Lista de Exercícios
integral raiz2+sin (x) cos ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral raiz2 + sin(x) cdot cos^3(x) , dx. Esse exercício está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e manipulação algébrica das expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ u = 2 + \sin(x) $. Assim, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de $ u $:
u
Isso significa que $ du = \cos(x) , dx $. Olha só que bom, já temos um dudx = cos(x) na nossa integral original!

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de $ u $. Observa que temos u na integral original. Podemos separar isso em cos^3(x) , dx. Já sabemos que $ \cos(x) , dx = du $, então precisamos expressar $ \cos^{2}(x) $ em termos de $ u $.

Passo 5

Lembrando que $ \cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x) $. E como $ u = 2 + \sin(x) $, podemos isolar $ \sin(x) $:
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
Então,
u = 2 + sin(x)

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
integral raizu cdot (1 - (u - 2)^2) , du
Agora, vamos expandir a expressão dentro do parêntese para facilitar a integração.

Passo 7

Expandindo $ (u - 2)^{2} $:
(u - 2)^2
Então,
(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral raizu cdot (-u^2 + 4u - 3) , du
Vamos distribuir $ \sqrt{u} $ dentro dos termos:
raizu
Lembrando que $ \sqrt{u} = u^{1/2} $, podemos simplificar os expoentes.

Passo 9

Simplificando os expoentes:
-u^2 cdot u^1/2 = -u^5/2
4u cdot u^1/2 = 4u^3/2
-3u^1/2 = -3u^1/2
Então, a integral fica:
integral (-u^5/2 + 4u^3/2 - 3u^1/2) , du

Passo 10

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral -u^5/2 , du = -u^7/272 = -27u^7/2
integral 4u^3/2 , du = 4 cdot u^5/252 = 85u^5/2
integral -3u^1/2 , du = -3 cdot u^3/232 = -2u^3/2

Passo 11

Juntando tudo, a antiderivada é:
-27u^7/2 + 85u^5/2 - 2u^3/2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 12

Agora, vamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ u = 2 + \sin(x) $, substituímos de volta:
x

Resposta

A integral integral raiz2 + sin(x) cdot cos^3(x) , dx é igual a:
-27(2 + sin(x))^7/2 + 85(2 + sin(x))^5/2 - 2(2 + sin(x))^3/2 + C

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