Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos (y), da região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(y=\frac{1}{x}, x=0, y=\frac{1}{4}) e (y=4)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada por
– a curva y=tfrac1x,
– a reta vertical x=0,
– as retas horizontais y=tfrac14 e y=4.
Este é um problema de volume por método de discos (ou anéis), pois vamos usar cortes horizontais e integrar em y.

Passo 2

Para cada valor de y entre tfrac14 e 4, o trecho de R é um segmento de reta que vai de x=0 até a curva y=tfrac1x. Resolvendo essa curva para x em função de y fica
x = 1y

Passo 3

Ao girar o segmento horizontal de x=0 até x=tfrac1y em torno do eixo y, obtemos um disco de raio
R(y) = 1y
A área dessa secção transversal é
A(y) = pil(R(y)r)^2 = pi1y^2

Passo 4

O volume total é a integral dessa área ao longo de y de tfrac14 até 4:
V = integraly=tfrac14^4 A(y),dy = integraltfrac14^4 pi,1y^2,dy

Passo 5

Calculando a integral:
V = pi integraltfrac14^4 y^-2,dy = pi gl[-1ygr]y=tfrac14^4 = pil(-tfrac14 -l(-4r)r) = pil(4 - tfrac14r) = 15pi4

Resposta

V = 15pi4

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