Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos (y), da região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2) e (y=2)
(x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2) e (y=2)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região
limitada por
e
.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por “método dos discos anelares” (washers), onde cada “fatia” perpendicular a tem área dada pela diferença de dois círculos.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por “método dos discos anelares” (washers), onde cada “fatia” perpendicular a
Passo 2
Para um valor fixo de
, a seção transversal em
vai de
até
.
Ao girar em torno de , isso gera um anel de raio externo
Ao girar em torno de
e raio interno
A área desse anel é
Passo 3
O volume total é a integral desse área ao longo de
de
a
:
Passo 4
Expandindo o integrando e observando que é função par, temos
logo
Passo 5
Calculemos a integral de
a
:
Somando:
Multiplicando por
: