Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos (y), da região ® delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(x=y^{2}+1, x=\frac{1}{2}, y=-2) e (y=2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região R limitada por
;x=y^2+1, x=tfrac12, y=-2 e y=2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por “método dos discos anelares” (washers), onde cada “fatia” perpendicular a y tem área dada pela diferença de dois círculos.

Passo 2

Para um valor fixo de yin[-2,2], a seção transversal em y vai de
;xmin=tfrac12 até xmax=y^2+1.
Ao girar em torno de y, isso gera um anel de raio externo
Router(y)=y^2+1
e raio interno
Rinner(y)=tfrac12
A área desse anel é
A(y)=pil[Router(y)^2-Rinner(y)^2r] =pil[(y^2+1)^2-l(tfrac12r)^2r]

Passo 3

O volume total é a integral desse área ao longo de y de -2 a 2:
V=integraly=-2^2A(y),dy =piintegral-2^2l[(y^2+1)^2-tfrac14r],dy

Passo 4

Expandindo o integrando e observando que é função par, temos
(y^2+1)^2-tfrac14 =y^4+2y^2+1-tfrac14 =y^4+2y^2+tfrac34,
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V =piintegral-2^2l(y^4+2y^2+tfrac34r),dy =2piintegral0^2l(y^4+2y^2+tfrac34r),dy

Passo 5

Calculemos a integral de 0 a 2:
integral0^2y^4,dy=l[tfracy^55r]0^2=tfrac325, integral0^22y^2,dy=2l[tfracy^33r]0^2=tfrac163, integral0^2tfrac34,dy=tfrac34l[,y,r]0^2=tfrac32
Somando:
integral0^2l(y^4+2y^2+tfrac34r)dy =tfrac325+tfrac163+tfrac32 =tfrac192+160+4530 =tfrac39730
Multiplicando por 2pi:
V=2picdottfrac39730=tfrac397pi15

Resposta

V=397pi15

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