Lista de Exercícios
integral sec ^4(x) tan ^5(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: calcular a integral de sec^4(x) tan^5(x) , dx. Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir. Vamos observar que a derivada de tan(x) é sec^2(x). Isso sugere que podemos usar tan(x) como nossa substituição.
Vamos definir:
u = tan(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de u. Observando a integral:
integral sec^4(x) tan^5(x) , dx
Podemos separar uma parte sec^2(x) , dx que já está na expressão para du:
integral sec^4(x) tan^5(x) , dx = integral sec^2(x) cdot sec^2(x) tan^5(x) , dx
= integral tan^5(x) cdot sec^2(x) cdot sec^2(x) , dx
= integral u^5 cdot sec^2(x) , dx
Substituindo du:
= integral u^5 , du

Passo 4

Agora, a integral está em termos de u, o que é mais simples de resolver:
integral u^5 , du = u^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, substituímos u de volta para tan(x):
u^66 + C = tan^6(x)6 + C

Resposta

A integral de sec^4(x) tan^5(x) , dx é:
tan^6(x)6 + C

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