Use a derivada implícita para determinar \frac{d y}{d x} \mathrm{e} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} usando derivada implícita.
Informações fornecidas: o enunciado, assim como você me enviou, não traz uma equação explícita relacionando x e y. Ou seja, não há um exemplo numérico ou uma curva dada como y em função de x ou uma equação do tipo \text{algo}(x,y)=0.
Observação importante (sem começar a resolver ainda): para aplicar derivada implícita precisamos de uma relação entre x e y. Como essa relação não foi dada, vou considerar uma situação geral e ensinar passo a passo o procedimento para qualquer equação implícita típica. Assim você aprende o método e poderá aplicar na prova para qualquer equação F(x,y)=0.

Passo 2

Definição e ideia chave (passo-a-passo bem mastigado). Suponha que a curva é dada implicitamente por
F(x,y)=0,
onde F é uma função com derivadas parciais até segunda ordem (ou seja, F é suficientemente suave). Aqui F é uma expressão que envolve x e y (por exemplo F(x,y)=x^2+y^2-R^2 para um círculo).
O objetivo é tratar y como função de x, isto é y=y(x), mesmo que não tenhamos uma expressão explícita para y. Então diferenciamos ambos os lados de F(x,y(x))=0 em relação a x, usando a regra da cadeia. Vou explicar cada passo da cadeia:
  • A derivada total de F(x,y(x)) em relação a x usa as derivadas parciais de F: \frac{d}{dx}F(x,y(x)) = F_x(x,y)\cdot\frac{dx}{dx} + F_y(x,y)\cdot\frac{dy}{dx}.Aqui F_x significa \dfrac{\partial F}{\partial x} (a derivada parcial de F em relação a x), e F_y significa \dfrac{\partial F}{\partial y}. Também \dfrac{dx}{dx}=1.
  • Como F(x,y(x))\equiv 0, sua derivada total é zero. Portanto obtemos a equação F_x(x,y) + F_y(x,y)\,y' = 0,onde usei a notação y'=\dfrac{dy}{dx}.
Agora isolamos y':
y' = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},
desde que F_y(x,y)\neq 0 (isso é natural: precisamos que a derivada parcial de F em relação a y não seja zero para poder resolver para y'; geometricamente garante que localmente y pode ser escrita como função de x).

Passo 3

Explicando em linguagem prática (o que cada símbolo significa e como calcular na prova):
  • F_x(x,y) é a derivada parcial de F em relação a x, tratando y como constante. Exemplo: se F(x,y)=x^2+y^2-1, então F_x=2x.
  • F_y(x,y) é a derivada parcial de F em relação a y, tratando x como constante. No exemplo, F_y=2y.
  • A fórmula y'=-F_x/F_y vem diretamente de isolar y' em F_x+F_y y'=0.
Exemplo concreto (para fixar): se a equação for o círculo \;x^2+y^2-1=0\; então F_x=2x, F_y=2y e
y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
Isso mostra o procedimento passo a passo que você deve fazer na prova: compute F_x e F_y e aplique a fórmula.

Passo 4

Agora vamos achar a segunda derivada y''=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Estratégia: diferenciar novamente a identidade
F_x(x,y) + F_y(x,y)\,y' = 0
em relação a x. Aqui precisamos aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais e a regra do produto para F_y\,y'. Faça isso devagar:
Primeiro calcule a derivada de F_x(x,y) em relação a x:
\frac{d}{dx}F_x(x,y) = F_{xx}(x,y) + F_{xy}(x,y)\,y',
onde F_{xx}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} e F_{xy}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}.
Agora calcule a derivada de F_y(x,y)\,y' em relação a x (produto):
\frac{d}{dx}\bigl(F_y(x,y)\,y'\bigr) = \bigl(F_{yx}(x,y) + F_{yy}(x,y)\,y'\bigr)\,y' + F_y(x,y)\,y'',
onde F_{yx}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial y\partial x} e F_{yy}=\dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}. Note que aqui usamos a regra da cadeia para derivar F_y(x,y) (pois depende de x via y(x)) e depois multiplicamos por y' (regra do produto).
Somando as duas partes e lembrando que a derivada total é zero, obtemos
F_{xx} + F_{xy}y' + F_{yx}y' + F_{yy}(y')^2 + F_y y'' = 0.
Se F é C^2 (derivadas contínuas), então F_{xy}=F_{yx}. Junta-se os termos e fica
F_{xx} + 2F_{xy}y' + F_{yy}(y')^2 + F_y y'' = 0.
Agora isolamos y'':
y'' = -\frac{F_{xx} + 2F_{xy}y' + F_{yy}(y')^2}{F_y},
novamente válido quando F_y\neq 0.

Passo 5

Substituindo y'=-\dfrac{F_x}{F_y} na expressão de y'' obtemos uma fórmula que usa apenas derivadas de F (útil na prova para escrever a resposta final sem y' sobrando). Faça a substituição e simplifique passo a passo:
Começando de
y'' = -\frac{F_{xx} + 2F_{xy}y' + F_{yy}(y')^2}{F_y},
substitua y'=-\dfrac{F_x}{F_y}. Então
2F_{xy}y' = -2F_{xy}\frac{F_x}{F_y}, \qquad F_{yy}(y')^2 = F_{yy}\frac{F_x^2}{F_y^2}.
Logo o numerador fica
F_{xx} - 2F_{xy}\frac{F_x}{F_y} + F_{yy}\frac{F_x^2}{F_y^2}.
Aplicando o sinal negativo e dividindo por F_y dá, após reorganizar,
y'' = -\frac{F_{xx}}{F_y} + \frac{2F_{xy}F_x}{F_y^2} - \frac{F_{yy}F_x^2}{F_y^3}.
Essa forma é prática pois dá y'' diretamente em termos das derivadas parciais de F avaliadas no ponto (x,y).

Passo 6

Aplicando ao exemplo do círculo \;F(x,y)=x^2+y^2-1\; para fixar a ideia:
  • F_x=2x, F_y=2y. Então y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
  • Derivadas de segunda ordem: F_{xx}=2, F_{xy}=0, F_{yy}=2. Use a fórmula y'' = -\frac{F_{xx} + 2F_{xy}y' + F_{yy}(y')^2}{F_y}Substituindo os valores: y'' = -\frac{2 + 0 + 2\left(-\dfrac{x}{y}\right)^2}{2y} = -\frac{2 + 2\frac{x^2}{y^2}}{2y} = -\frac{1}{y} - \frac{x^2}{y^3}.
Isto coincide com o que você obteria se derivasse y'=-x/y diretamente (confirme sempre fazendo o cálculo passo a passo).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}
\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{F_{xx}(x,y) + 2F_{xy}(x,y)\,y' + F_{yy}(x,y)\,(y')^{2}}{F_y(x,y)}
Observação opcional (mas útil para a prova): substituindo y'=-\dfrac{F_x}{F_y} na segunda fórmula, uma forma equivalente é
\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{F_{xx}}{F_y} + \frac{2F_{xy}F_x}{F_y^{2}} - \frac{F_{yy}F_x^{2}}{F_y^{3}}.

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