Use a derivada implícita para determinar
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e
usando derivada implícita.
Informações fornecidas: o enunciado, assim como você me enviou, não traz uma equação explícita relacionando e
. Ou seja, não há um exemplo numérico ou uma curva dada como
em função de
ou uma equação do tipo
.
Observação importante (sem começar a resolver ainda): para aplicar derivada implícita precisamos de uma relação entre e
. Como essa relação não foi dada, vou considerar uma situação geral e ensinar passo a passo o procedimento para qualquer equação implícita típica. Assim você aprende o método e poderá aplicar na prova para qualquer equação
.
Informações fornecidas: o enunciado, assim como você me enviou, não traz uma equação explícita relacionando
Observação importante (sem começar a resolver ainda): para aplicar derivada implícita precisamos de uma relação entre
Passo 2
Definição e ideia chave (passo-a-passo bem mastigado). Suponha que a curva é dada implicitamente por
onde
é uma função com derivadas parciais até segunda ordem (ou seja,
é suficientemente suave). Aqui
é uma expressão que envolve
e
(por exemplo
para um círculo).
O objetivo é tratar como função de
, isto é
, mesmo que não tenhamos uma expressão explícita para
. Então diferenciamos ambos os lados de
em relação a
, usando a regra da cadeia. Vou explicar cada passo da cadeia:
O objetivo é tratar
- A derivada total de
em relação a usa as derivadas parciais de : Aqui significa (a derivada parcial de em relação a ), e significa . Também . - Como
, sua derivada total é zero. Portanto obtemos a equação onde usei a notação .
Agora isolamos
:
desde que
(isso é natural: precisamos que a derivada parcial de
em relação a
não seja zero para poder resolver para
; geometricamente garante que localmente
pode ser escrita como função de
).
Passo 3
Explicando em linguagem prática (o que cada símbolo significa e como calcular na prova):
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. Exemplo: se , então . -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. No exemplo, . - A fórmula
vem diretamente de isolar em .
Exemplo concreto (para fixar): se a equação for o círculo
então
,
e
Isso mostra o procedimento passo a passo que você deve fazer na prova: compute
e
e aplique a fórmula.
Passo 4
Agora vamos achar a segunda derivada
. Estratégia: diferenciar novamente a identidade
em relação a
. Aqui precisamos aplicar a regra da cadeia às derivadas parciais e a regra do produto para
. Faça isso devagar:
Primeiro calcule a derivada de
em relação a
:
onde
e
.
Agora calcule a derivada de
em relação a
(produto):
onde
e
. Note que aqui usamos a regra da cadeia para derivar
(pois depende de
via
) e depois multiplicamos por
(regra do produto).
Somando as duas partes e lembrando que a derivada total é zero, obtemos
Se
é
(derivadas contínuas), então
. Junta-se os termos e fica
Agora isolamos
:
novamente válido quando
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
obtemos uma fórmula que usa apenas derivadas de
(útil na prova para escrever a resposta final sem
sobrando). Faça a substituição e simplifique passo a passo:
Começando de
substitua
. Então
Logo o numerador fica
Aplicando o sinal negativo e dividindo por
dá, após reorganizar,
Essa forma é prática pois dá
diretamente em termos das derivadas parciais de
avaliadas no ponto
.
Passo 6
Aplicando ao exemplo do círculo
para fixar a ideia:
-
, . Então - Derivadas de segunda ordem:
, , . Use a fórmula Substituindo os valores:
Isto coincide com o que você obteria se derivasse
diretamente (confirme sempre fazendo o cálculo passo a passo).
Resposta
Observação opcional (mas útil para a prova): substituindo
na segunda fórmula, uma forma equivalente é
.