Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.
y=t(t+1)(t+3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em relação à variável independente (que aqui é t) para a função
y=t(t+1)(t+3).
Informações dadas:
\;y é definida como o produto de três fatores t, t+1 e t+3.
A tarefa é encontrar \dfrac{dy}{dt} usando a derivação logarítmica.
Observação importante (para aplicar o método): a derivação logarítmica exige que y\neq0 porque envolve \ln y. Portanto estamos trabalhando para valores de t tais que t\neq0,\;t\neq-1,\;t\neq-3. Depois a expressão obtida é válida por continuação onde fizer sentido.

Passo 2

Ideia da derivação logarítmica (explicação didática): quando y é um produto de fatores, é mais fácil tirar logaritmo e transformar o produto em soma. Então aplicamos \ln em ambos os lados e depois diferenciamos implicitamente. A regra que usamos é:
\text{se }y=y(t)\text{ e }y\neq0,\quad \frac{d}{dt}\big(\ln y\big)=\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}.
Essa fórmula vem da regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\ln(y(t)) = (\ln)'(y)\cdot y'(t)=\dfrac{1}{y}\,y'. Vou usar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln\big(t(t+1)(t+3)\big).
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma produto em soma, obtemos
\ln y = \ln t + \ln(t+1) + \ln(t+3).

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t. No lado esquerdo, pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(\ln y\big)=\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}.
No lado direito usamos que \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. As derivadas dos argumentos são simples (cada argumento é uma função linear com derivada 1). Assim:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{t+3}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dy}{dt} multiplicando ambos os lados por y:
\frac{dy}{dt} = y\left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{t+3}\right).
Agora substituímos y pela expressão original t(t+1)(t+3):
\frac{dy}{dt} = t(t+1)(t+3)\left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{t+3}\right).

Passo 6

Simplificamos a expressão aproveitando que cada termo da soma cancela um fator em y. Fazendo termo a termo:
t(t+1)(t+3)\cdot\frac{1}{t} = (t+1)(t+3),
t(t+1)(t+3)\cdot\frac{1}{t+1} = t(t+3),
t(t+1)(t+3)\cdot\frac{1}{t+3} = t(t+1).
Somando esses três resultados:
\frac{dy}{dt} = (t+1)(t+3) + t(t+3) + t(t+1).

Passo 7

Agora expandimos e somamos os termos cuidadosamente (vou mostrar cada expansão para você poder copiar na prova sem erro):
Expansões:
(t+1)(t+3) = t^2 + 4t + 3,
t(t+3) = t^2 + 3t,
t(t+1) = t^2 + t.
Somando:
t^2 + 4t + 3 \;+\; t^2 + 3t \;+\; t^2 + t \;=\; 3t^2 + 8t + 3.
Portanto:
\frac{dy}{dt} = 3t^2 + 8t + 3.

Passo 8

Resumo do porquê funcionou e dica prática: a derivação logarítmica transformou um produto em soma de logaritmos, o que levou a uma soma de frações simples \tfrac{1}{t},\tfrac{1}{t+1},\tfrac{1}{t+3}. Multiplicando de volta pelo produto original, cada fração cancela um fator, reduzindo o trabalho de multiplicar derivando com produto sucessivo. Na prova, quando tiver produto de muitos fatores (especialmente com potências), a derivação logarítmica costuma economizar tempo e erro.

Resposta

\dfrac{dy}{dt}=3t^{2}+8t+3

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