Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
em relação à variável independente dada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação à variável independente (que aqui é
) para a função
Informações dadas:
é definida como o produto de três fatores
,
e
.
A tarefa é encontrar usando a derivação logarítmica.
A tarefa é encontrar
Observação importante (para aplicar o método): a derivação logarítmica exige que
porque envolve
. Portanto estamos trabalhando para valores de
tais que
. Depois a expressão obtida é válida por continuação onde fizer sentido.
Passo 2
Ideia da derivação logarítmica (explicação didática): quando
é um produto de fatores, é mais fácil tirar logaritmo e transformar o produto em soma. Então aplicamos
em ambos os lados e depois diferenciamos implicitamente. A regra que usamos é:
Essa fórmula vem da regra da cadeia:
. Vou usar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma produto em soma, obtemos
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, pela regra da cadeia:
No lado direito usamos que
. As derivadas dos argumentos são simples (cada argumento é uma função linear com derivada
). Assim:
Passo 5
Isolando
multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituímos
pela expressão original
:
Passo 6
Simplificamos a expressão aproveitando que cada termo da soma cancela um fator em
. Fazendo termo a termo:
Somando esses três resultados:
Passo 7
Agora expandimos e somamos os termos cuidadosamente (vou mostrar cada expansão para você poder copiar na prova sem erro):
Expansões:
Somando:
Portanto:
Passo 8
Resumo do porquê funcionou e dica prática: a derivação logarítmica transformou um produto em soma de logaritmos, o que levou a uma soma de frações simples
. Multiplicando de volta pelo produto original, cada fração cancela um fator, reduzindo o trabalho de multiplicar derivando com produto sucessivo. Na prova, quando tiver produto de muitos fatores (especialmente com potências), a derivação logarítmica costuma economizar tempo e erro.