Aplicando o método da substituição, calcule:
integral(t+1)(t^2+2 x+5)^-2 / 3 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (t+1),(t^2 + 2t + 5)^-2/3,dt
usando o método da substituição. O conteúdo é integração por substituição de função composta.

Passo 2

Fazemos a escolha
u = t^2 + 2t + 5
Derivando ambos os lados,
du = (2t + 2),dt = 2,(t+1),dt,
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(t+1),dt = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral (t+1),(t^2 + 2t + 5)^-2/3,dt = integral u^-2/3,12,du = tfrac12 integral u^-2/3,du

Passo 4

Para calcular integral u^-2/3,du usamos a regra de potência:
integral u^n,du = u^n+1n+1
Aqui n = -tfrac23, então n+1 = tfrac13 e
integral u^-2/3,du = u^1/31/3 = 3,u^1/3
Multiplicando pelo fator tfrac12, vem
tfrac12 integral u^-2/3,du = tfrac12 cdot 3,u^1/3 = tfrac32,u^1/3

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = t^2 + 2t + 5. Assim a antiderivada é
32,(t^2 + 2t + 5)^1/3 + C

Resposta

32,(t^2 + 2t + 5)^1/3 + C

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