Aplicando o método da substituição, calcule:
integral x^-1 ln ^2(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^-1,ln^2(x),dx
usando o método de substituição. O conteúdo aqui é integração de uma função composta em que aparece ln(x) e seu diferencial natural é dx/x. Vamos usar a substituição para simplificar.

Passo 2

Definimos a substituição
u = ln(x)
Como u=ln(x), diferenciando temos
du = 1x,dx
ou seja
dxx = du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, observe que o fator x^-1dx é exatamente du e ln^2(x) vira u^2. Logo
integral x^-1,ln^2(x),dx = integral u^2,du

Passo 4

Agora basta integrar em u. Lembrando que
integral u^2,du = u^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, substituímos u = ln(x) para obter a primitive em x:
u^33 + C = ln^3(x)3 + C

Resposta

integral x^-1,ln^2(x),dx = ln^3(x)3 + C

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