Aplicando o método da substituição, calcule:
integral e^x1+e^2 x d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral e^x1+e^2 x ,dx usando substituição, que é um método de integração em que trocamos uma expressão complicada por uma variável mais simples, aplicando a cadeia de derivadas.

Passo 2

Observamos que a derivada de e^x é ele mesmo, então fazemos a substituição
u = e^x, du = e^x ,dx

Passo 3

Substituindo na integral, note que e^x ,dx = du e e^2x = (e^x)^2 = u^2. Assim a integral fica
integral e^x1+e^2x ,dx = integral 11+u^2 ,du

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica
integral 11+u^2 ,du = arctan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = e^x no resultado acima, obtendo:
arctan(e^x) + C

Resposta

arctan(e^x) + C

Exercícios relacionados