Em cada um dos Problemas de 13 a 18 , encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=ll0, & t= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes: é zero antes de t=pi, vale t-pi entre pi e 2pi, e volta a ser zero depois. O conteúdo aqui é transformada de Laplace de funções deslocadas (usando o degrau unitário) e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Vamos reescrever f(t) usando o degrau unitário u(t-a). Note que entre t=pi e t=2pi temos t-pi, e fora desse intervalo zero. Então
f(t)=(t-pi)l[u(t-pi)-u(t-2pi)r]

Passo 3

Usando a propriedade L(t-a)u(t-a)=e^-a ss^2, temos direto
L(t-pi)u(t-pi)=e^-pi ss^2

Passo 4

Para o segundo termo, note que
(t-pi)u(t-2pi) = l[(t-2pi)+pir]u(t-2pi) = (t-2pi)u(t-2pi) + pi,u(t-2pi)

Passo 5

Aplicando a transformada em cada parte:
L(t-2pi)u(t-2pi)=e^-2pi ss^2,
Lpi,u(t-2pi)=pi,e^-2pi ss

Passo 6

Logo
L(t-pi)u(t-2pi) = e^-2pi ss^2 + pi,e^-2pi ss

Passo 7

Subtraindo esse termo do primeiro, obtemos a transformada de f(t):
$$L{f(t)} = \frac{e^{-\pi s}}{s^2} - \Bigl(\frac{e^{-2\pi s}}{s^2} + \pi,\frac{e^{-2\pi s}}{s}\Bigr)
= \frac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s^2} - \pi,\frac{e^{-2\pi s}}{s}.$$

Resposta

Lf(t)=e^-pi s-e^-2pi ss^2-pie^-2pi ss

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