Aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base ordenada B=[v1, v2, v3] subset R^3, com v1=(-3,-1,0), v2=(0,-4,-4) e v3=(-5,-5,-4), obtemos a base ortogonal B=[u1, u2, u3]. Determine o vetor u3.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base ordenada
B=[v1,v2,v3]subsetR^3 com
v1=(-3,-1,0), v2=(0,-4,-4), v3=(-5,-5,-4)
para obter uma base ortogonal B'=[u1,u2,u3].
A regra geral é
u1=v1, uk=vk-sumj=1^k-1projuj(vk), proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u

Passo 2

Definimos diretamente
u1=v1=(-3,-1,0)

Passo 3

Para u2 calculamos
lang<= v2,u1rang<==0cdot(-3)+(-4)cdot(-1)+(-4)cdot0=4
e lang<= u1,u1rang<==9+1+0=10.
Logo
u2 = v2-410,u1 = (0,-4,-4)-25(-3,-1,0) =l(tfrac65,-tfrac185,-4r)

Passo 4

Para u3 precisamos de
lang<= v3,u1rang<= =(-5)(-3)+(-5)(-1)+(-4)cdot0=20, lang<= v3,u2rang<= =(-5)tfrac65+(-5)l(-tfrac185r)+(-4)(-4)=28,
lang<= u2,u2rang<= =l(tfrac65r)^2+l(-tfrac185r)^2+(-4)^2 =1525
Então
u3 = v3 - 2010,u1 - 28152/5,u2 = v3-2,u1-3538,u2 = l(-tfrac219,;tfrac619,;-tfrac619r)

Resposta

u3=l(-tfrac219,;tfrac619,;-tfrac619r)

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