Qual dos vetores abaixo deve ser acrescentado ao conjunto S=(8,5,4,4),(-2,-4,-1,10),(-2,-4,10,-1) para transformá-lo em uma base ortogonal do R^4 ?
Escolha uma opção:
a. (2,-4,1,-10)
b. (2,4,10,-1)
○ c. (7,8,-2,-2)
d. (-2,-4,10,1)
e. (-7,8,2,2)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
S = (8,5,4,4),;(-2,-4,-1,10),;(-2,-4,10,-1)
em R^4 e queremos acrescentar um vetor de modo que v1,v2,v3,v4 seja uma base ortogonal.
Conteúdo: para uma base ser ortogonal, cada novo vetor v4 deve satisfazer
v4 cdot vi = 0
para i=1,2,3, onde “ cdot” é o produto escalar usual em R^4.

Passo 2

Chamemos
v1 = (8,5,4,4), v2 = (-2,-4,-1,10), v3 = (-2,-4,10,-1)
Seja w=(x,y,z,t) candidato a v4. As condições de ortogonalidade são
wcdot v1 = 8x + 5y + 4z +4t = 0,
wcdot v2 = -2x -4y -z +10t = 0,
wcdot v3 = -2x -4y +10z -t = 0

Passo 3

Em vez de resolver o sistema, vamos testar as cinco opções dadas, calculando apenas os produtos escalares.

Passo 4

Testamos as opções:
a. (2,-4,1,-10) em v1:
2cdot8 +(-4)cdot5 +1cdot4 +(-10)cdot4 = 16-20+4-40 = -40 neq 0
b. (2,4,10,-1) em v1:
2cdot8 +4cdot5 +10cdot4 +(-1)cdot4 =16+20+40-4 =72 neq 0
c. (7,8,-2,-2) em v1:
7cdot8 +8cdot5 +(-2)cdot4 +(-2)cdot4 =56+40-8-8 =80 neq 0
d. (-2,-4,10,1) em v1:
-2cdot8 +(-4)cdot5 +10cdot4 +1cdot4 =-16-20+40+4 =8 neq 0
e. (-7,8,2,2) em v1:
-7cdot8 +8cdot5 +2cdot4 +2cdot4 = -56+40+8+8 = 0
Como as outras falharam logo no primeiro produto, só resta a opção e.

Passo 5

Para confirmar w=(-7,8,2,2), calculamos também com v2 e v3:
;wcdot v2 = -7cdot(-2)+8cdot(-4)+2cdot(-1)+2cdot10 =14-32-2+20=0,
;wcdot v3 = -7cdot(-2)+8cdot(-4)+2cdot10+2cdot(-1)=14-32+20-2=0
Portanto (-7,8,2,2) é ortogonal a v1,v2,v3.

Resposta

(e) (-7,8,2,2)

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