Seja v=(x, y, z, t) in R^4 um vetor tal que
B=lang<=(-27,-27, 57,-47),(-27,-3135,-27, 835),(57,-27,-27,-47), vrang<=
é uma base ortonormal do R^4, com relação ao produto interno usual. Calcule o valor de
35|x+y+z+t|

Passo 1

O enunciado dá um vetor v=(x,y,z,t)inR^4 e afirma que
B=llang<= u1,u2,u3,vrrang<=
é uma base ortonormal no produto interno usual, onde
u1=l(-tfrac27,-tfrac27,tfrac57,-tfrac47r), u2=l(-tfrac27,-tfrac3135,-tfrac27,tfrac835r), u3=l(tfrac57,-tfrac27,-tfrac27,-tfrac47r)
Queremos calcular
35,l|x+y+z+tr|
O conteúdo usado será a ortonormalidade e o fato de que, em base ortonormal, a soma dos quadrados das coordenadas de um vetor é igual ao quadrado da sua norma (identidade de Parseval).

Passo 2

Considere o vetor
w = (1,1,1,1)
Em uma base ortonormal u1,u2,u3,v, escrevemos
w = (wcdot u1),u1 + (wcdot u2),u2 + (wcdot u3),u3 + (wcdot v),v
A coordenada de w na direção de v é
wcdot v = x+y+z+t =: S
Pela identidade de Parseval,
|w|^2 = (wcdot u1)^2 + (wcdot u2)^2 + (wcdot u3)^2 + S^2
Como |w|^2 = 1^2+1^2+1^2+1^2 = 4, basta calcular os outros três produtos internos.

Passo 3

Calculemos as projeções de w sobre u1,u2,u3:
wcdot u1 = 1l(-tfrac27r) +1l(-tfrac27r)+1l(tfrac57r)+1l(-tfrac47r) = -2-2+5-47 = -37
wcdot u2 = -tfrac27 + l(-tfrac3135r) + l(-tfrac27r) + tfrac835 = -10-31-10+835 = -4335
wcdot u3 = tfrac57 + l(-tfrac27r) + l(-tfrac27r) + l(-tfrac47r) = 5-2-2-47 = -37

Passo 4

Agora aplique Parseval:
4 = |w|^2 = l(-tfrac37r)^2 + l(-tfrac4335r)^2 + l(-tfrac37r)^2 + S^2
Calcule cada termo:
l(-tfrac37r)^2 = 949, l(-tfrac4335r)^2 = 18491225
Logo,
4 = 2cdot949 + 18491225 + S^2 = 1849 + 18491225 + S^2 = 4501225 + 18491225 + S^2 = 22991225 + S^2
Isolando S^2:
S^2 = 4 - 22991225 = 4900 - 22991225 = 26011225 = l(tfrac5135r)^2
Portanto
|S| = 5135

Passo 5

O valor pedido é
35,|x+y+z+t| = 35,|S| = 35 cdot 5135 = 51

Resposta

51

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