Seja
a interseção do paraboloide
com o plano
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá:
- A curva
é a interseção do paraboloide com o plano . - Deve-se calcular a integral de linha
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral (há cinco opções fornecidas).
Passo 2
Primeiro obtenho a equação da curva no plano
eliminando
. Igualando as duas expressões para
:
Organizando termos:
Completo o quadrado em
:
Portanto a projeção de
no plano
é um círculo de centro
e raio
.
Também retiro do plano:
Também retiro
Passo 3
Parametrizo a curva pelo parâmetro
usando a parametrização do círculo no plano
:
Como
é função de
, uso
Agora calculo as derivadas em relação a
:
Como
, segue
Passo 4
A diferencial de comprimento de arco é
Substituo as derivadas:
Portanto
Passo 5
A integranda depende de
apenas; com
temos
Multiplico pela
obtida:
Observe que a raiz se cancela, o que simplifica muito a integral.
Passo 6
Agora integro no intervalo
:
Calculo as integrais básicas:
Passo 7
Substituo os valores: