Seja C a interseção do paraboloide 9 z=x^{2}+y^{2} com o plano 9 z=-8+6 x. O valor da integral \int_{C} \frac{10+4 y^{2}}{\sqrt{9+4 y^{2}}} d s é:
Escolha uma opção:
12 \pi
6 \pi
8 \pi
10 \pi
4 \pi

Passo 1

O enunciado dá:
  • A curva C é a interseção do paraboloide 9z=x^{2}+y^{2} com o plano 9z=-8+6x.
  • Deve-se calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{10+4y^{2}}{\sqrt{9+4y^{2}}}\,ds.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral (há cinco opções fornecidas).

Passo 2

Primeiro obtenho a equação da curva no plano xy eliminando z. Igualando as duas expressões para 9z:
x^{2}+y^{2}=-8+6x.
Organizando termos:
x^{2}-6x+y^{2}+8=0.
Completo o quadrado em x:
(x-3)^{2}-9+y^{2}+8=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^{2}+y^{2}=1.
Portanto a projeção de C no plano xy é um círculo de centro (3,0) e raio 1.
Também retiro z do plano:
9z=-8+6x \quad\Rightarrow\quad z=\frac{-8+6x}{9}=\frac{2}{3}x-\frac{8}{9}.

Passo 3

Parametrizo a curva pelo parâmetro t\in[0,2\pi] usando a parametrização do círculo no plano xy:
x(t)=3+\cos t,\qquad y(t)=\sin t.
Como z é função de x, uso
z(t)=\frac{2}{3}x(t)-\frac{8}{9}=\frac{2}{3}(3+\cos t)-\frac{8}{9}.
Agora calculo as derivadas em relação a t:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Como z'(t)=\frac{2}{3}x'(t), segue
z'(t)=\frac{2}{3}(-\sin t)=-\frac{2}{3}\sin t.

Passo 4

A diferencial de comprimento de arco é
ds=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}\,dt.
Substituo as derivadas:
(x')^{2}+(y')^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}=1,
(z')^{2}=\left(-\frac{2}{3}\sin t\right)^{2}=\frac{4}{9}\sin^{2}t.
Portanto
ds=\sqrt{1+\frac{4}{9}\sin^{2}t}\,dt=\frac{1}{3}\sqrt{9+4\sin^{2}t}\,dt.

Passo 5

A integranda depende de y apenas; com y(t)=\sin t temos
\frac{10+4y^{2}}{\sqrt{9+4y^{2}}}=\frac{10+4\sin^{2}t}{\sqrt{9+4\sin^{2}t}}.
Multiplico pela ds obtida:
\frac{10+4\sin^{2}t}{\sqrt{9+4\sin^{2}t}}\cdot \frac{1}{3}\sqrt{9+4\sin^{2}t}\,dt=\frac{1}{3}\bigl(10+4\sin^{2}t\bigr)\,dt.
Observe que a raiz se cancela, o que simplifica muito a integral.

Passo 6

Agora integro no intervalo 0\le t\le 2\pi:
\int_{C}\frac{10+4y^{2}}{\sqrt{9+4y^{2}}}\,ds =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}\bigl(10+4\sin^{2}t\bigr)\,dt =\frac{1}{3}\left(10\int_{0}^{2\pi}dt+4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt\right).
Calculo as integrais básicas:
\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi,
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}\quad\Rightarrow\quad \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,dt=\pi.

Passo 7

Substituo os valores:
\frac{1}{3}\bigl(10\cdot 2\pi + 4\cdot \pi\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(20\pi+4\pi\bigr)=\frac{24\pi}{3}=8\pi.

Resposta

\,8\pi\,

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