Aplicando a regra da cadeia, encontre a derivada da seguinte função abaixo:
r(x)=(x^3-32 x+2)^11

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
r(x)=l(x^3-32x+2r)^11,
que envolve regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Vamos definir a função interna
u(x)=x^3-32x+2
de modo que
r(x)=l(u(x)r)^11

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
r'(x)=11l(u(x)r)^10cdot u'(x)
Ou seja, basta calcular u'(x) e depois voltar aqui.

Passo 3

Para
u(x)=x^3-32x+2
usamos a regra do quociente: se u=v/w, então
u'=v',w - v,w'w^2
Aqui v(x)=x^3-3 e w(x)=2x+2, logo
v'(x)=3x^2, w'(x)=2
Portanto
u'(x) =3x^2,(2x+2);-;(x^3-3),2(2x+2)^2 =6x^3+6x^2-2x^3+6(2x+2)^2 =4x^3+6x^2+6(2x+2)^2

Passo 4

Agora substituímos u(x) e u'(x) em r'(x)=11(u(x))^10,u'(x):
r'(x) =11(x^3-32x+2)^10 cdot 4x^3+6x^2+6(2x+2)^2

Resposta

r'(x) =11(x^3-32x+2)^10 4x^3+6x^2+6(2x+2)^2

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