Utilizando as regras do produto e do quociente, encontre a derivada da seguinte função:
f(x)=3 x^2-1x^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3x^2-1x^3. Este é um quociente de funções, então vamos usar a regra do quociente, que envolve derivar numerador e denominador. Também usaremos a regra da potência para derivar monômios.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=3x^2-1,
v(x)=x^3
Então f(x)=u(x)v(x). Calculamos as derivadas de u e v usando a regra da potência:
u'(x)=ddx(3x^2-1)=6x,
v'(x)=ddx(x^3)=3x^2

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u', v e v' temos
f'(x)=(6x),(x^3)-(3x^2-1),(3x^2)(x^3)^2

Passo 4

Simplificamos o numerador e o denominador:
(6x)(x^3)=6x^4, (3x^2-1)(3x^2)=9x^4-3x^2, (x^3)^2=x^6
Logo
f'(x)=6x^4-(9x^4-3x^2)x^6 =6x^4-9x^4+3x^2x^6 =-3x^4+3x^2x^6

Passo 5

Fatorando 3x^2 no numerador e simplificando com x^6,
f'(x)=3x^2(1-x^2)x^6 =3(1-x^2)x^4

Resposta

f'(x)=3(1-x^2)x^4

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