Aplicando a Regra de Substituição, calcule•
\int x\left(2+x^{2}\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x\,(2 + x^{2})^{10}\,dx
usando a Regra de Substituição. A ideia é escolher uma “parte interna” cuja derivada apareça multiplicando, simplificando a integral.

Passo 2

Escolhemos
u = 2 + x^{2}.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, obtém-se
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 4

Substituindo u e x\,dx na integral original, vem
\int x\,(2 + x^{2})^{10}\,dx = \int u^{10}\,\bigl(\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12 \int u^{10}\,du = \tfrac12 \cdot \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{22} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2 + x^{2} e obtemos
\frac{(2 + x^{2})^{11}}{22} + C.

Resposta

\frac{(2 + x^{2})^{11}}{22} + C

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