Usando a consequência do Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em intervalos fechados, encontre um intervalo fechado contendo o valor de cada integral definida abaixo:
∫_{-2}^{3} √{x^{2}+5} dx

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor da integral
\int_{-2}^{3}\sqrt{x^{2}+5}\,dx
usando a consequência do Teorema do Valor Extremo para integrais: se f é contínua em [a,b] então
m\,(b-a)\le \int_{a}^{b}f(x)\,dx \le M\,(b-a),
onde m=\min_{[a,b]}f e M=\max_{[a,b]}f.

Passo 2

Verificamos que f(x)=\sqrt{x^{2}+5} é contínua em [-2,3].
Para encontrar m e M:
  • O valor de x^{2} é mínimo em x=0, logo
m = f(0)=\sqrt{0^{2}+5}=\sqrt{5}.
  • O valor de x^{2} é máximo no ponto de maior valor absoluto de x, que é x=3, então
M = f(3)=\sqrt{3^{2}+5}=\sqrt{14}.

Passo 3

Como b-a=3-(-2)=5, aplicamos
m\,(b-a)\le \int_{-2}^{3}\sqrt{x^{2}+5}\,dx \le M\,(b-a),
isto é,
5\,\sqrt{5}\;\le\;\int_{-2}^{3}\sqrt{x^{2}+5}\,dx\;\le\;5\,\sqrt{14}.

Resposta

O valor da integral pertence ao intervalo fechado
\bigl[\,5\sqrt{5},\,5\sqrt{14}\bigr].

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