Usando a consequência do Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em intervalos fechados, encontre um intervalo fechado contendo o valor de cada integral definida abaixo:
∫_{-1}{2}(x{4}-8 x^{2}+10) dx

Passo 1

O enunciado pede para usar a consequência do Teorema do Valor Extremo em intervalos fechados para estimar a integral
\int_{-1}^{2} \bigl(x^{4} - 8x^{2} + 10\bigr)\,dx.
Como f(x)=x^{4}-8x^{2}+10 é um polinômio, ela é contínua em [-1,2] e podemos aplicar que, se
m=\min_{x\in[-1,2]}f(x), \quad M=\max_{x\in[-1,2]}f(x),
então
m\,(2-(-1)) \;\le\; \int_{-1}^{2}f(x)\,dx \;\le\; M\,(2-(-1)).

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos de f em [-1,2]. Derivando:
f'(x)=4x^{3}-16x =4x\,(x^{2}-4) =4x\,(x-2)\,(x+2).
As raízes de f'(x) são x=-2,0,2; no intervalo [-1,2] temos apenas x=0 e x=2.

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos a extremos: nos pontos críticos e nas bordas x=-1 e x=2:
f(-1)=(-1)^{4}-8(-1)^{2}+10=1-8+10=3,
f(0)=0-0+10=10,
f(2)=2^{4}-8\cdot2^{2}+10=16-32+10=-6.
Logo
m=\min\{3,10,-6\}=-6, \quad M=\max\{3,10,-6\}=10.

Passo 4

O comprimento do intervalo é
2-(-1)=3.
Pela estimativa do Teorema do Valor Extremo,
-6\cdot3 \;\le\; \int_{-1}^{2} \bigl(x^{4}-8x^{2}+10\bigr)\,dx \;\le\; 10\cdot3,
ou seja
-18 \;\le\; \int_{-1}^{2} \bigl(x^{4}-8x^{2}+10\bigr)\,dx \;\le\; 30.

Resposta

[-18,\,30]

Exercícios relacionados