(2 pontos) Use aproximação linear para estimar o valor de \sqrt[4]{17}.
Obs.: Aproximação linear de uma função pode ser dada por f\left(x_{0}+\Delta x\right) \approx f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x.

Passo 1

O enunciado nos pede estimar \sqrt[4]{17} usando aproximação linear (linearização) de uma função. Vamos usar a função
f(x) = x^{1/4}
e a fórmula
f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x
escolhendo um ponto x_0 próximo de 17 em que f(x_0) seja conhecido exatamente.

Passo 2

Escolhemos x_0 = 16, pois \sqrt[4]{16}=2. Logo
\Delta x = 17 - 16 = 1,
e
f(x_0) = f(16) = 2.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Como f(x)=x^{1/4}, temos
f'(x) = \frac{1}{4}\,x^{-\tfrac{3}{4}}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x_0=16:
16^{-\tfrac{3}{4}} = \bigl(16^{1/4}\bigr)^{-3} = 2^{-3} = \tfrac{1}{8},
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f'(16) = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{32}.

Passo 5

Aplicar a aproximação linear em x=17:
f(17) \approx f(16) + f'(16)\,\Delta x = 2 + \frac{1}{32}\cdot 1 = 2 + \frac{1}{32} = \frac{65}{32} \approx 2,03125.

Resposta

\sqrt[4]{17} \approx \tfrac{65}{32} \approx 2,03125.

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