Aplicando regras bạsicast e as förmulas de integração, ache as seguintes integrais:
integral d xraiz4+x^2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dxraiz4 + x^2
Isso é um caso clássico de integral do tipo
integral dxraiza^2 + x^2 = arcsinh!gl(xagr) + C
com a=2. Para fixar ideias, vamos fazer a substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos
x = 2tantheta,
então
dx = 2sec^2theta,dtheta e raiz4 + x^2 = raiz4 + 4tan^2theta = 2sectheta
Substituindo na integral,
integral dxraiz4 + x^2 = integral 2sec^2theta,dtheta2sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 3

A integral de sectheta é
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Volta para a variável x. Como tantheta = tfracx2 e
sectheta = raiz1+tan^2theta = raiz1 + x^24 = raizx^2+42,
temos
lnl|sectheta + tanthetar| = lngl|raizx^2+42 + x2gr| = lnl|x + raizx^2+4r| - ln 2
Incorporando -ln 2 na constante C, a resposta fica

Resposta

integral dxraiz4 + x^2 = lnl|x + raizx^2+4r| + C
ou equivalentemente
arcsinh!gl(x2gr) + C

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