Qual é o número real expresso por
\sqrt{7+\sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o número real
\sqrt{7+\sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}.
Informações dadas (a expressão inteira):
  • A expressão é composta por radicais aninhados: uma raiz quadrada externa, uma raiz cúbica no meio e outra raiz quadrada mais interna.
  • Não há valores desconhecidos a descobrir além do valor numérico dessa expressão.

Passo 2

Primeiro, algumas definições e regras básicas que vou usar (sem pular etapas):
  • A raiz quadrada principal \sqrt{x} de um número real não negativo x é o número não negativo cuja segunda potência é x. Ex.: \sqrt{9}=3 porque 3^2=9.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{x} de um número real x é o número real (único) cuja terceira potência é x. Ex.: \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8. Para números positivos, \sqrt[3]{\cdot} dá um resultado positivo.
  • Em expressões com radicais aninhados do tipo \sqrt{a+\sqrt{b+\cdots}}, é seguro e prático avaliar de dentro para fora: primeiro o radical mais interno, depois o próximo, e assim por diante, porque cada passo produz um número concreto que substitui o radical interno.

Passo 3

Avaliar o radical mais interno: \sqrt{9}.
\sqrt{9}=3,
pois 3^2=9. Aqui se usou a definição da raiz quadrada principal.

Passo 4

Substituir o resultado no próximo radical interno: \sqrt{6+\sqrt{9}}.
Como pegamos \sqrt{9}=3, temos
\sqrt{6+\sqrt{9}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}.
Novamente, \sqrt{9}=3 pelo mesmo motivo do passo anterior.

Passo 5

Agora substituir esse resultado na raiz cúbica: \sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}.
Como do passo anterior \sqrt{6+\sqrt{9}}=3, obtemos
\sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}=\sqrt[3]{5+3}=\sqrt[3]{8}.
E \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8.

Passo 6

Por fim, substituir tudo na raiz externa: \sqrt{7+\sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}.
Como a raiz cúbica deu 2, temos
\sqrt{7+\sqrt[3]{5+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}=\sqrt{7+2}=\sqrt{9}.
E \sqrt{9}=3.

Resposta

3

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