Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para obter a derivada dessa função, ou seja, encontrar
. Informação importante dada:
- A função é
.
O que se quer: calcular a derivada deem relação a , .
Passo 2
Primeiro, o que é derivada (intuição e definição):
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função em relação a . Formalmente, a derivada é definida por
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função em relação a
Aqui
é um pequeno incremento em
. Se esse limite existe, ele é a derivada.
Passo 3
Regras práticas que vamos usar (úteis na prova):
- Regra do múltiplo constante: se
com constante, então
Isto é, constantes saem da derivada.
- Regra da potência (power rule) para expoente inteiro positivo: se
com inteiro positivo, então
Significado das letras:
é uma constante,
é uma função de
,
é o expoente inteiro positivo.
Aplicação direta e rápida (método prático para a prova):
- Identifico que
é uma constante multiplicando . - Derivo
pela regra da potência: a derivada é . - Aplico a regra do múltiplo constante: multiplico o resultado por
.
Portanto
Passo 4
Agora, para entender por que a regra da potência funciona, faço a demonstração usando a definição de derivada (êxito teórico, útil para fixar o entendimento):
Começo da definição:
Substituo
:
Factorizo o
:
Agora uso a expansão binomial para
. Pelo binômio de Newton:
Subtraindo
:
Divido por
:
Agora tomo o limite quando
. Todos os termos que têm
vão para zero, sobrando apenas
. Logo,
Voltando ao
que estava fora:
Essa demonstração confirma a aplicação rápida das regras.
Passo 5
Dicas práticas para a prova:
- Sempre que tiver
com constante e inteiro, aplique diretamente . É rápido e evita contas longas. - Lembrete de notação:
é a mesma coisa que . - Erro comum: esquecer de multiplicar pela constante
(no nosso caso ). Não confunda com derivar a constante: se a função fosse só , a derivada seria .
Exemplo extra rápido: se, então .