Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=2 x^{5}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{5} e pede para obter a derivada dessa função, ou seja, encontrar f'(x). Informação importante dada:
  • A função é f(x)=2x^{5}.
    O que se quer: calcular a derivada de f em relação a x, f'(x).

Passo 2

Primeiro, o que é derivada (intuição e definição):
A derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função em relação a x. Formalmente, a derivada é definida por
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Se esse limite existe, ele é a derivada.

Passo 3

Regras práticas que vamos usar (úteis na prova):
  • Regra do múltiplo constante: se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então
g'(x)=c\cdot u'(x).
Isto é, constantes saem da derivada.
  • Regra da potência (power rule) para expoente inteiro positivo: se u(x)=x^{n} com n inteiro positivo, então
u'(x)=n x^{n-1}.
Significado das letras: c é uma constante, u(x) é uma função de x, n é o expoente inteiro positivo.
Aplicação direta e rápida (método prático para a prova):
  1. Identifico que f(x)=2\cdot x^{5} é uma constante 2 multiplicando x^{5}.
  2. Derivo x^{5} pela regra da potência: a derivada é 5x^{4}.
  3. Aplico a regra do múltiplo constante: multiplico o resultado por 2.
    Portanto
f'(x)=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}.

Passo 4

Agora, para entender por que a regra da potência funciona, faço a demonstração usando a definição de derivada (êxito teórico, útil para fixar o entendimento):
Começo da definição:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Substituo f(x)=2x^{5}:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2(x+h)^{5}-2x^{5}}{h}.
Factorizo o 2:
f'(x)=2\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}.
Agora uso a expansão binomial para (x+h)^{5}. Pelo binômio de Newton:
(x+h)^{5}=x^{5}+5x^{4}h+10x^{3}h^{2}+10x^{2}h^{3}+5xh^{4}+h^{5}.
Subtraindo x^{5}:
(x+h)^{5}-x^{5}=5x^{4}h+10x^{3}h^{2}+10x^{2}h^{3}+5xh^{4}+h^{5}.
Divido por h:
\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}=5x^{4}+10x^{3}h+10x^{2}h^{2}+5xh^{3}+h^{4}.
Agora tomo o limite quando h\to0. Todos os termos que têm h vão para zero, sobrando apenas 5x^{4}. Logo,
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}=5x^{4}.
Voltando ao 2 que estava fora:
f'(x)=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}.
Essa demonstração confirma a aplicação rápida das regras.

Passo 5

Dicas práticas para a prova:
  • Sempre que tiver f(x)=c\cdot x^{n} com c constante e n inteiro, aplique diretamente f'(x)=c\cdot n x^{n-1}. É rápido e evita contas longas.
  • Lembrete de notação: f'(x) é a mesma coisa que \dfrac{df}{dx}.
  • Erro comum: esquecer de multiplicar pela constante c (no nosso caso 2). Não confunda com derivar a constante: se a função fosse só f(x)=2, a derivada seria 0.
    Exemplo extra rápido: se g(x)=3x^{4}, então g'(x)=3\cdot 4x^{3}=12x^{3}.

Resposta

f'(x)=10x^{4}

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