Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{9 x^{4}}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{9 x^{4}}{4} e pede para encontrar a derivada f'(x). Ou seja: qual é a taxa de variação instantânea dessa função em relação a x?

Passo 2

Anotando de forma clara: a função tem um fator constante multiplicando uma potência de x. Escrevo isso explicitamente:
f(x)=\frac{9}{4}\,x^{4}.
Informações relevantes: o número \dfrac{9}{4} é uma constante (não depende de x) e x^{4} é uma potência de x.

Passo 3

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem didática):
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) uma função, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot \frac{d}{dx}g(x).
Isto significa que posso “puxar” constantes para fora da operação de derivar.
  • Regra da potência (power rule): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente; por exemplo, para x^{4} temos n=4, e a derivada será 4x^{3}. Intuição rápida: a derivada “traz para frente” o expoente como fator e diminui o expoente em uma unidade.

Passo 4

Aplico primeiro a regra do fator constante à função f(x)=\dfrac{9}{4}\,x^{4}:
f'(x)=\frac{9}{4}\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{4}\big).
Ou seja, mantenho \dfrac{9}{4} e derivo apenas x^{4}.

Passo 5

Agora uso a regra da potência para \dfrac{d}{dx}\big(x^{4}\big). Com n=4,
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4\,x^{3}.

Passo 6

Substituo o resultado no passo anterior:
f'(x)=\frac{9}{4}\cdot \big(4\,x^{3}\big).
Aqui dá para simplificar o produto de constantes: \dfrac{9}{4}\cdot 4 vai cancelar o 4 no denominador com o 4 multiplicando.

Passo 7

Resumo do processo para que você consiga reproduzir na prova:
  • Identifique constantes multiplicando a função e puxe-as para fora da derivada (regra do fator constante).
  • Aplique a regra da potência em x^{n} para obter n x^{n-1}.
  • Simplifique as constantes resultantes, se houver cancelamento.

Resposta

f'(x)=9x^{3}

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