Aplicando a Segunda Lei de Newton ao carro A na direção “ladeira abaixo”, temos:
m g \operatorname{sen} \theta-f=m a
em que, de acordo com a Eq. 6-11,
f=f_{k}=\mu_{k} F_{N}=\mu_{k} m g \cos \theta
Assim, \operatorname{com} \mu_{k}=0,600, temos:
a=g \operatorname{sen} \theta-\mu_{k} \cos \theta=-3,72 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
o que significa, como escolhemos como sentido positivo o sentido “ladeira abaixo”, que o vetor aceleração aponta “ladeira acima”, ou seja, que a velocidade do carro A estava diminuindo. Para v_{0}=18,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \left(x-x_{0}\right)=d=24,0 \mathrm{~m}, a Eq. 2-16 nos dá
v=\sqrt{v_{0}^{2}+2 a d}=12,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados: \mu_{k}=0,600, v_{0}=18,0\\ \mathrm{m/s}, d=\left(x-x_{0}\right)=24,0\\ \mathrm{m}. (O enunciado também usa g e um ângulo \theta da rampa; mais abaixo veremos como eles aparecem.)
  • Nós escolhemos o sentido “ladeira abaixo” como positivo.
  • Pedidos: (a) encontrar a aceleração a do carro ao longo da rampa; (b) encontrar a velocidade final v depois de percorrer d=24,0\\ \mathrm{m}.
  • Observação: a solução parcial fornecida já mostra a forma da equação e o valor numérico final que vamos reproduzir e explicar passo a passo.

Passo 2

Forças atuando no carro e suas decomposições (explicação didática):
  • A força peso tem magnitude m g e atua verticalmente para baixo. Ao projetá-la na direção da rampa (e perpendicular a ela) usamos trigonometria:
    • Componente do peso na direção da rampa (para baixo): \;m g \operatorname{sen}\theta\;.
    • Componente do peso perpendicular à rampa (para dentro da superfície): \;m g \cos\theta\;.
    • Aqui \theta é o ângulo entre a rampa e a horizontal; \operatorname{sen}\theta e \cos\theta são as razões trigonométricas usuais.
  • A força normal F_N é a reação da superfície perpendicular à rampa; para uma superfície sem aceleração perpendicular, temos F_{N}=m g \cos\theta.(Isto vem do equilíbrio das forças na direção perpendicular à rampa.)
  • A força de atrito cinético tem magnitude f_{k}=\mu_{k}F_{N}=\mu_{k} m g \cos\theta,e atua no sentido oposto ao movimento (aqui, se o carro tende a descer, o atrito aponta ladeira acima).

Passo 3

Aplicando a Segunda Lei de Newton ao longo da rampa (explicação passo a passo):
  • A Segunda Lei diz que a soma das forças na direção escolhida é igual a m a. Escolhemos sentido positivo para baixo da rampa, então as forças na direção da rampa são:
    • Para baixo: m g \operatorname{sen}\theta.
    • Para cima (atrito): -f_{k} = -\mu_{k} m g \cos\theta.
  • Somando: m g \operatorname{sen}\theta - \mu_{k} m g \cos\theta = m a.
  • Podemos fatorar m g no lado esquerdo e cancelar m (isso ocorre porque todas as forças escalam com m): a = g\bigl(\operatorname{sen}\theta - \mu_{k}\cos\theta\bigr).
  • Explicação do que significa: g\operatorname{sen}\theta é a “tendência” do carro em acelerar para baixo; \mu_{k}g\cos\theta é a contribuição do atrito que reduz essa tendência. A diferença dá a aceleração efetiva ao longo da rampa.

Passo 4

Avaliação numérica da aceleração (mostrando como chegar ao número dado):
  • Usando \mu_{k}=0,600 e g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}, o valor de \operatorname{sen}\theta-\mu_{k}\cos\theta depende do ângulo \theta. No enunciado fornecido já foi calculado o valor numérico da aceleração como a = -3,72\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Se preferir ver a relação numérica, podemos escrever a = 9,80\bigl(\operatorname{sen}\theta - 0,600\cos\theta\bigr) = -3,72\\ \mathrm{m/s^{2}},o que implica que \operatorname{sen}\theta - 0,600\cos\theta \approx -0,3796.
  • Interpretação do sinal: a<0 significa que, com nossa convenção (positivo para baixo), a aceleração aponta “ladeira acima” — ou seja, o carro está desacelerando enquanto descia (a velocidade está diminuindo).

Passo 5

Equação do movimento para velocidade com aceleração constante (explicação e aplicação):
  • Para movimento com aceleração constante a, a relação entre velocidade inicial v_{0}, velocidade final v, deslocamento d e aceleração é v^{2}=v_{0}^{2}+2 a d.(Esta fórmula vem de integrar a definição a=\dfrac{dv}{dt} com v=\dfrac{dx}{dt} para aceleração constante, ou alternativamente das equações cinemáticas usuais.)
  • Substituímos v_{0}=18,0\\ \mathrm{m/s}, a=-3,72\\ \mathrm{m/s^{2}} e d=24,0\\ \mathrm{m}: v^{2}=(18,0)^{2}+2(-3,72)(24,0).
  • Cálculo passo a passo: (18,0)^{2}=324,0,
2(-3,72)(24,0)=-178,56,
v^{2}=324,0-178,56=145,44.
Portanto
v=\sqrt{145,44}=12,06\\ \mathrm{m/s}\approx 12,1\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação do sinal de v: o valor é positivo, o que significa que, apesar de ter desacelerado, o carro ainda está se movendo ladeira abaixo; apenas sua velocidade diminuiu de 18,0\\ \mathrm{m/s} para 12,1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo físico e dica prática para prova:
  • O procedimento padrão em problemas assim é: (i) decompor o peso em componentes; (ii) escrever F_{\text{resultante}}=m a na direção escolhida; (iii) substituir f_{k}=\mu_{k}F_{N} e cancelar m se possível; (iv) usar fórmula cinematica v^{2}=v_{0}^{2}+2 a d para achar v.
  • Dica: escolha sempre o sentido positivo que facilite os sinais; escreva as forças com seus sinais e cancele m só depois de montar a equação — isso evita erros. Respira fundo: seguir esses passos evita surpresas na prova!

Resposta

a=-3,72\\ \mathrm{m/s^{2}}
v=12,1\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados