Nesta situação, supomos que \vec{f}_{s} aponta ladeira acima e está com o valor máximo, \mu_{s} F_{N}. Aplicando a Segunda Lei de Newton a um objeto de massa m, nas direções paralela e perpendicular à encosta, temos:
\begin{aligned} & F_{\min 1}-m g \operatorname{sen} \theta+\mu_{s} F_{N}=0 \\\ & F_{N}-m g \cos \theta=0 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede: \n
  • Dá-se que a força de atrito estático \vec{f}_{s} aponta ladeira acima e está no valor máximo \mu_{s}F_{N}. \n
  • Dá-se as duas equações (aplicando a Segunda Lei de Newton nas direções paralela e perpendicular à encosta):
F_{\min 1}-m g \operatorname{sen}\theta+\mu_{s}F_{N}=0
F_{N}-m g \cos\theta=0
  • A pergunta (inferida do enunciado): determinar F_{\min 1} em função de m, g, \theta e \mu_{s}. \n
  • Informações relevantes: m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade, \theta é o ângulo da inclinação, F_{N} é a força normal (perpendicular à encosta), \mu_{s} é o coeficiente de atrito estático e \operatorname{sen}\theta e \cos\theta são as componentes do peso nas direções paralela e perpendicular à ladeira, respectivamente.

Passo 2

Entendendo a segunda equação (direção perpendicular): \n
F_{N}-m g \cos\theta=0
Significado dos termos:
  • F_{N} é a força normal, positiva para fora da superfície.
  • m g \cos\theta é a componente do peso perpendicular à encosta (pois o peso m g forma com a normal um ângulo \theta). \n
    A equação diz que, na direção perpendicular, não há aceleração (equilíbrio), logo somando as forças perpendiculares temos zero. Portanto podemos isolar F_{N}.

Passo 3

Isolando F_{N} a partir da segunda equação: \n
F_{N}-m g \cos\theta=0 \implies F_{N}=m g \cos\theta.
Explicação: somamos m g \cos\theta em ambos os lados ou simplesmente reconhecemos que a normal equilibra a componente perpendicular do peso.

Passo 4

Entendendo a primeira equação (direção paralela): \n
F_{\min 1}-m g \operatorname{sen}\theta+\mu_{s}F_{N}=0.
Interpretação dos termos (considerando sinal positivo ladeira acima):
  • F_{\min 1} é a força mínima aplicada no sentido para cima da rampa (queremos encontrá-la).
  • m g \operatorname{sen}\theta é a componente do peso que puxa o objeto para baixo da rampa (por isso aparece com sinal negativo quando escrevemos soma das forças = 0).
  • \mu_{s}F_{N} é a força de atrito estático máxima; como foi dado que \vec{f}_{s} aponta ladeira acima, ela contribui com sinal positivo (ajuda a segurar o corpo contra o deslizamento para baixo). \n
    A equação expressa o equilíbrio de forças na direção paralela (somatório das forças = 0).

Passo 5

Substituindo F_{N}=m g \cos\theta na primeira equação: \n
Partimos de
F_{\min 1}-m g \operatorname{sen}\theta+\mu_{s}F_{N}=0,
substituindo F_{N}:
F_{\min 1}-m g \operatorname{sen}\theta+\mu_{s}\,(m g \cos\theta)=0.

Passo 6

Isolando F_{\min 1} e simplificando passo a passo: \n
A equação fica
F_{\min 1}-m g \operatorname{sen}\theta+\mu_{s}m g \cos\theta=0.
Passo seguinte, somamos m g \operatorname{sen}\theta e subtraímos \mu_{s}m g \cos\theta (ou simplesmente isolamos F_{\min 1}):
F_{\min 1}=m g \operatorname{sen}\theta-\mu_{s}m g \cos\theta.
Fatorando m g para ficar mais elegante:
F_{\min 1}=m g\bigl(\operatorname{sen}\theta-\mu_{s}\cos\theta\bigr).

Passo 7

Interpretação física do resultado (útil para a prova): \n
  • Se \operatorname{sen}\theta-\mu_{s}\cos\theta>0 (ou seja, \tan\theta>\mu_{s}) então F_{\min 1}>0: é necessária uma força aplicada para evitar que o bloco deslize para baixo. \n
  • Se \operatorname{sen}\theta-\mu_{s}\cos\theta\le 0 (ou seja, \tan\theta\le\mu_{s}) então F_{\min 1}\le 0: o atrito é suficiente para segurar o corpo sem necessidade de empurrar para cima; um valor negativo indicaria que, na verdade, não é preciso aplicar força para cima (ou que uma força para baixo até aquele valor ainda mantém o equilíbrio). \n
    Dica prática: a condição crítica é \tan\theta=\mu_{s}, que separa os dois regimes.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, faz na prova se pedirem número): \n
Suponha m=10\\ \text{kg}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, \theta=30^\circ e \mu_{s}=0{,}20. \n
Calculamos:
m g \operatorname{sen}\theta = 10\cdot 9{,}8\cdot \tfrac{1}{2}=98\cdot 0{,}5=49\\ \text{N},
\mu_{s}m g \cos\theta=0{,}20\cdot 10\cdot 9{,}8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}20\cdot 98\cdot 0{,}866\approx16{,}97\\ \text{N},
F_{\min 1}\approx49-16{,}97\approx32{,}03\\ \text{N}.
Isso reforça como usar a fórmula no exame sem pular etapas.

Resposta

F_{\min 1}=m g\bigl(\operatorname{sen}\theta-\mu_{s}\cos\theta\bigr).

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