Escolhemos um eixo x horizontal orientado para a direita e um eixo y vertical orientado para cima. Supomos que a massa da corda é desprezível, de modo que a força \vec{F} exercida pela criança é igual à tensão da corda. As componentes x e y de \vec{F} são F \cos \theta e F \operatorname{sen} \theta, respectivamente. A força de atrito estático aponta para a esquerda.
Aplicando a Segunda Lei de Newton ao eixo y e supondo que a aceleração vertical é nula, temos:
F_{N}+F \operatorname{sen} \theta-m g=0

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma bem clara para a gente não se perder):
  • Escolhemos eixos: x horizontal para a direita e y vertical para cima.
  • A corda tem massa desprezível, então a força que a criança exerce, \vec{F}, é igual à tensão da corda.
  • As componentes de \vec{F} são: a horizontal \;F\cos\theta\; e a vertical \;F\operatorname{sen}\theta\;.
  • A força de atrito estático atua para a esquerda (ou seja, se a criança puxa para a direita, o atrito tenta impedir esse movimento).
  • Foi dada a equação obtida pela Segunda Lei de Newton no eixo y, supondo aceleração vertical nula:
F_{N}+F\operatorname{sen}\theta-mg=0.

Observação importante: o enunciado que você enviou não explicitou um coeficiente de atrito estático. Como é muito comum neste tipo de exercício, eu vou introduzir o símbolo \mu_s para representar o coeficiente de atrito estático entre o objeto e o chão. Se o enunciado original trouxer um valor numérico para \mu_s, você pode substituir aqui.

Objetivos que normalmente se pedem (e que vou resolver passo a passo): (a) achar a expressão da força normal F_N em função de F, m, g e \theta; (b) achar a menor intensidade de F necessária para vencer o atrito estático (ou seja, a condição de início de deslizamento), expressa em termos de \mu_s, m, g e \theta.

Passo 2

Vamos manipular a equação vertical dada para isolar a força normal F_N. Antes, um mini-aula: a Segunda Lei de Newton diz que a soma das forças (vetoriais) é igual à massa vezes a aceleração. Se a aceleração vertical é zero, a soma algébrica das componentes verticais das forças deve ser zero. Aqui as forças verticais são: a normal F_N para cima, a componente vertical da tração F\operatorname{sen}\theta para cima (atenção ao sinal: se \theta for medido acima da horizontal, essa componente aponta para cima), e o peso mg para baixo. A equação mostrada já representa essa soma igual a zero.

A equação é
F_{N}+F\operatorname{sen}\theta-mg=0.
Isolando F_N:
F_{N}=mg-F\operatorname{sen}\theta.
Expliquei passo a passo: movi F\operatorname{sen}\theta e mg para o outro lado e troquei sinais. Essa é a expressão da normal em função das grandezas do problema.

Passo 3

Agora vamos entender o atrito estático. Mini-aula rápida: a força de atrito estático f_s impede o início do movimento; seu módulo máximo é dado por
f_{s,\max}=\mu_s F_{N},
onde \mu_s é o coeficiente de atrito estático (número adimensional) e F_N é a força normal (em newtons). Enquanto a força horizontal que tende a mover o corpo for menor que f_{s,\max}, o corpo não se move (o atrito se ajusta até seu máximo). No instante em que o corpo está prestes a deslizar (condição de equilíbrio limite), a componente horizontal da força aplicada iguala o atrito máximo:
F\cos\theta = f_{s,\max}.
Lembrete: o sinal “aponta para a esquerda” que você mencionou indica apenas a direção do atrito quando a tendência é de movimento para a direita.

Passo 4

Vamos juntar as duas ideias (normal e atrito máximo) para obter a condição de início de movimento. Substituímos a expressão de F_N na fórmula do atrito máximo e impomos equilíbrio limite horizontal:
F\cos\theta = \mu_s F_{N}.
Substituindo F_{N}=mg-F\operatorname{sen}\theta obtemos
F\cos\theta = \mu_s\bigl(mg - F\operatorname{sen}\theta\bigr).
Agora resolvemos essa equação para F. Primeiro desenvolvo o lado direito:
F\cos\theta = \mu_s mg - \mu_s F\operatorname{sen}\theta.
Agora agrupo os termos que contêm F no mesmo membro:
F\cos\theta + \mu_s F\operatorname{sen}\theta = \mu_s mg.
Coloco F em evidência:
F\bigl(\cos\theta + \mu_s\operatorname{sen}\theta\bigr) = \mu_s mg.
Finalmente, isolando F:
F = \frac{\mu_s mg}{\cos\theta + \mu_s\operatorname{sen}\theta}.
Essa expressão dá a menor intensidade de F necessária para que a componente horizontal vença o atrito estático (ou seja, a força mínima para iniciar o deslizamento), assumindo que F_N>0.

Passo 5

Vamos discutir duas questões importantes e dicas para prova (pra você não ser pego de surpresa):
  1. Condição de normal não-negativa: a fórmula usada assume que o contato permanece com o chão, ou seja, F_N\ge 0. Da expressão F_{N}=mg-F\operatorname{sen}\theta isso implica
mg-F\operatorname{sen}\theta \ge 0 \quad\Rightarrow\quad F \le \frac{mg}{\operatorname{sen}\theta}.
Se F ultrapassar esse valor, a caixa começa a levantar do chão e o problema muda (o atrito passa a zero ou a contato diminui). Então sempre verifique esse limite ao aplicar a fórmula anterior. Em prova, é boa prática comentar isso.
  1. Casos-limite úteis:
  • Se \theta=0 (puxo horizontal), \operatorname{sen}\theta=0 e \cos\theta=1, a expressão reduz a
F=\mu_s mg,
que é o resultado intuitivo: é preciso puxar com força igual ao atrito máximo.
  • Se \theta aumenta (puxo mais para cima), \operatorname{sen}\theta aumenta e o termo -F\operatorname{sen}\theta reduz F_N, diminuindo o atrito e, portanto, a força necessária para mover. Porém, se puxar muito para cima, pode-se levantar o objeto (veja a condição anterior).

Resposta

F_{N}=mg-F\operatorname{sen}\theta
F_{\text{mín}}=\frac{\mu_s mg}{\cos\theta+\mu_s\operatorname{sen}\theta}í

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