Aplicando as substituições indicadas, calcule:
integral d xx raizx^2-2, x=1t

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral dxxraizx^2-2
e recomenda usar a substituição x=1t. Este é um problema de cálculo de integral por mudança de variável.

Passo 2

Calculamos a diferencial e expressamos x^2-2 em termos de t. Como x=1t, temos
dx = -dtt^2,
x^2 = 1t^2,
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x^2-2 = 1-2t^2t^2,
raizx^2-2 = raiz1-2t^2|t|

Passo 3

Substituindo na integral e, assumindo t>0 (para eliminar o valor absoluto), obtemos
integral dxxraizx^2-2 = integral -dtt^21t,raiz1-2t^2t = -integral dtraiz1-2t^2

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão integral dtraiza^2-(bt)^2. Aqui a=1 e b=raiz2. Fazemos a troca
u = raiz2,t, du = raiz2,dt,
de modo que
integral dtraiz1-2t^2 = 1raiz2integral duraiz1-u^2 = 1raiz2arcsin(u) + C = 1raiz2arcsin(raiz2,t) + C

Passo 5

Voltando à variável x (lembre que t=1/x), a integral original fica
-1raiz2arcsin!l(raiz2,tr) + C = -1raiz2arcsin!l(raiz2xr) + C

Resposta

-1raiz2arcsin!l(raiz2xr)+C

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