Determine a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está debaixo do gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado integral definida, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, a integral definida de uma função
entre dois pontos
e
nos dá a área total sob o gráfico de
nesse intervalo. A notação matemática para isso é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
. Para integrar essa função, a gente encontra a antiderivada, que é uma função
tal que
. A regra básica de integração para polinômios nos diz que:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, a gente não precisa nos preocupar com
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração, que são
e
. Isso significa que a gente vai calcular
:
Então:
Resposta
A área da região sob o gráfico da função
no intervalo de
até
é 12 unidades de área.