Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=2 x+3 ; [-1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está debaixo do gráfico da função f(x) = 2x + 3 no intervalo de x = -1 até x = 2 . Para isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado integral definida, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, a integral definida de uma função f(x) entre dois pontos a e b nos dá a área total sob o gráfico de f(x) nesse intervalo. A notação matemática para isso é:
integrala^b f(x) , dx
No nosso caso, f(x) = 2x + 3 , a = -1 e b = 2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de f(x) = 2x + 3 . Para integrar essa função, a gente encontra a antiderivada, que é uma função F(x) tal que F'(x) = f(x) . A regra básica de integração para polinômios nos diz que:
integral (2x + 3) , dx = x^2 + 3x + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, a gente não precisa nos preocupar com C .

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, que são a = -1 e b = 2 . Isso significa que a gente vai calcular F(2) - F(-1) :
F(2) = (2)^2 + 3 times 2 = 4 + 6 = 10
F(-1) = (-1)^2 + 3 times (-1) = 1 - 3 = -2
Então:
integral-1^2 (2x + 3) , dx = F(2) - F(-1) = 10 - (-2) = 12

Resposta

A área da região sob o gráfico da função f(x) = 2x + 3 no intervalo de x = -1 até x = 2 é 12 unidades de área.

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