Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=e^x-x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está abaixo do gráfico da função f(x) = e^x - x no intervalo de a a b . Isso envolve cálculo integral, que é uma ferramenta matemática usada para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob um gráfico entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral de uma função f(x) de a a b é representada por:
integrala^b f(x) , dx
Nesse caso, nossa função é f(x) = e^x - x , então a integral fica:
integrala^b (e^x - x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. A integral de e^x em relação a x é e^x , porque a derivada de e^x é e^x .
  2. A integral de x em relação a x é 12x^2 , já que a derivada de 12x^2 é x .
Então, a antiderivada de f(x) é:
integral (e^x - x) , dx = e^x - 12x^2 + C
Aqui, C é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 4

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para encontrar o valor da integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
[ e^x - 12x^2 ]a^b = ( e^b - 12b^2 ) - ( e^a - 12a^2 )

Resposta

Portanto, a área da região sob o gráfico da função f(x) = e^x - x no intervalo [a, b] é:
e^b - 12b^2 - e^a + 12a^2

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