Determine a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está abaixo do gráfico da função
no intervalo de
a
. Isso envolve cálculo integral, que é uma ferramenta matemática usada para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área sob um gráfico entre dois pontos, usamos a integral definida. A integral de uma função
de
a
é representada por:
Nesse caso, nossa função é
, então a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. Vamos integrar cada termo separadamente.
- A integral de
em relação a é , porque a derivada de é . - A integral de
em relação a é , já que a derivada de é .
Então, a antiderivada de
é:
Aqui,
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 4
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, para encontrar o valor da integral definida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração e subtraímos:
Resposta
Portanto, a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
é: