Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
n) f(x)=raiz4-x^2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função f(x) = raiz4 - x^2x . Isso está relacionado ao estudo de funções na matemática, mais especificamente em análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores de x para os quais a função está definida) e imagem (todos os possíveis valores de f(x) ).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. A função f(x) = raiz4 - x^2x tem duas partes que nos impõem restrições:
  1. O denominador x não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida.
  2. A expressão dentro da raiz quadrada raiz4 - x^2 deve ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é real.

Passo 3

Vamos lidar com a segunda restrição primeiro:
4 - x^2 >= 0
Isso significa que x^2 <= 4 . Resolvendo essa desigualdade:
-2 <= x <= 2
Então, x deve estar entre -2 e 2, inclusive.

Passo 4

Agora, consideramos a primeira restrição: x neq 0 . Isso exclui o valor x = 0 do domínio.

Passo 5

Juntando essas restrições, o domínio da função é todos os números entre -2 e 2, menos o zero. Em notação de intervalo, fica:
Df = [-2, 0) cup (0, 2]

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que f(x) pode assumir. Para isso, observamos a expressão:
f(x) = raiz4 - x^2x
Vamos analisar os valores que f(x) pode alcançar dentro do domínio estabelecido.

Passo 7

Note que raiz4 - x^2 é sempre não negativa, já que é uma raiz quadrada. O denominador x pode ser positivo ou negativo, dependendo do intervalo:
  • Para x em (-2, 0) , x é negativo.
  • Para x em (0, 2) , x é positivo.

Passo 8

Vamos considerar os limites:
  • Quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^- ), f(x) tende a -infty .
  • Quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ), f(x) tende a +infty .
Além disso, quando x = pm 2 :
f(2) = raiz4 - 42 = 0
f(-2) = raiz4 - 4-2 = 0

Passo 9

Portanto, a função cobre todos os valores reais exceto zero, já que nunca atinge exatamente zero no intervalo (-2, 2) fora dos pontos finais onde f(pm2) = 0 .

Resposta

O domínio da função é Df = [-2, 0) cup (0, 2] e a imagem é Ima>=m = R setminus 0 .

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