Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções na matemática, mais especificamente em análise de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio (todos os valores de
para os quais a função está definida) e imagem (todos os possíveis valores de
).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. A função
tem duas partes que nos impõem restrições:
- O denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. - A expressão dentro da raiz quadrada
deve ser maior ou igual a zero, já que a raiz quadrada de números negativos não é real.
Passo 3
Vamos lidar com a segunda restrição primeiro:
Isso significa que
. Resolvendo essa desigualdade:
Então,
deve estar entre -2 e 2, inclusive.
Passo 4
Agora, consideramos a primeira restrição:
. Isso exclui o valor
do domínio.
Passo 5
Juntando essas restrições, o domínio da função é todos os números entre -2 e 2, menos o zero. Em notação de intervalo, fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Para isso, observamos a expressão:
Vamos analisar os valores que
pode alcançar dentro do domínio estabelecido.
Passo 7
Note que
é sempre não negativa, já que é uma raiz quadrada. O denominador
pode ser positivo ou negativo, dependendo do intervalo:
- Para
em , é negativo. - Para
em , é positivo.
Passo 8
Vamos considerar os limites:
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), tende a . - Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a .
Além disso, quando
:
Passo 9
Portanto, a função cobre todos os valores reais exceto zero, já que nunca atinge exatamente zero no intervalo
fora dos pontos finais onde
.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.