Aplicando as substituições indicadas, calcule:
integral e^2 xraize^x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^2xraize^x+1 ,dx
O conteúdo é aplicação de substituições sucessivas para transformar a integral num polinômio. Vamos usar primeiro u=e^x e depois uma substituição que simplifique a raiz.

Passo 2

Fazendo a primeira substituição
u = e^x Temos du = e^x,dx Longrightarrow dx = duu, e também e^2x=(e^x)^2=u^2. Substituindo na integral: integral e^2xraize^x+1 ,dx = integral u^2raizu+1;duu = integral uraizu+1 ,du

Passo 3

Agora temos
integral uraizu+1 ,du
Para eliminar a raiz, fazemos a segunda substituição
t = raizu+1
ou seja u = t^2-1. Calculamos du:
du = 2t,dt

Passo 4

Em função de t, o integrando fica
uraizu+1,du = t^2-1t,(2t,dt) = 2,(t^2-1),dt = 2t^2,dt - 2,dt
Portanto a integral transforma-se em
integral 2t^2,dt - integral 2,dt

Passo 5

Integramos cada termo:
integral 2t^2,dt = 2t^33, integral 2,dt = 2t
Logo,
integral l(2t^2-2r),dt = 2t^33 - 2t + C

Passo 6

Fazendo o retorno das variáveis: primeiro t = raizu+1, depois u=e^x. Assim
2t^33 - 2t + C = 23l(raizu+1r)^3 - 2raizu+1 + C = 23(u+1)^3/2 - 2(u+1)^1/2 + C
e por fim u=e^x:
boxed integral e^2xraize^x+1,dx = 23,l(e^x+1r)^3/2 -2,l(e^x+1r)^1/2 + C

Resposta

23,(e^x+1)^3/2-2,(e^x+1)^1/2+C

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