Questão 4: Veja o seguinte exemplo:
Sabendo que o resto da divisão de um número b por 5 é 3 determine o resto da divisão por 5 do número 3 b+5.
Solução: Temos que b=5 a+3. Queremos saber o resto da divisão de 3 b+5, por 5 isto é
3 b+5=5 c+r, onde r=0,1,2,3 ou 4 de b=5 a+3 Rightarrow 3 b=15 a+9
e de r=3 b+5-5 c Rightarrow r=15 a+9+5(1-c) Rightarrow r=5(3 a+1-c)+9 Rightarrow r-9=5(3 a+1-c)
Logo, 5 mid r-9. Substituindo os possíveis valores de r teremos:
ll r=0 & 5 nmid-9 r=1 & 5 nmid 1-9=-8 r=2 & 5 nmid 2-9=-7 r=3 & 5 nmid 3-9=-6 r=4 & 5 mid 4-9=-5
Portanto, o único valor que satisfaz é r=4, sendo este o resto procurado.
Agora, resolva o seguinte exercício: Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 , calcular o resto da divisão por 6 dos seguintes números:
3 b+6

Passo 1

O enunciado diz que o resto da divisão de um inteiro b por 6 é 5 e pede o resto da divisão de 3b+6 por 6. O conteúdo envolve aritmética de restos (congruências) e vamos usar a expressão de b em função de 6 para resolver.

Passo 2

Como bequiv5pmod6, existe inteiro a tal que
b = 6a + 5

Passo 3

Substituindo essa expressão em 3b+6, obtemos
3b + 6 = 3(6a + 5) + 6 = 18a + 15 + 6 = 18a + 21

Passo 4

Queremos escrever
3b+6 = 6c + r,
onde rin0,1,2,3,4,5. Note que 18a é múltiplo de 6 e
21 = 6cdot 3 + 3
Logo, o único resto possível é r=3.

Resposta

O resto da divisão de 3b+6 por 6 é 3.

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