Aplicando as substituições indicadas, calcule:
integral cos x d xraiz1+sin ^2 x, t=sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral cos x,dxraiz1+sin^2 x
usando a substituição t = sin x.
Isso envolve o método de integração por substituição, em que identificamos parte do integrando como derivada de outra parte.

Passo 2

Definimos
t = sin x
Diferenciando ambos os lados, obtemos
dt = cos x,dx

Passo 3

Substituímos t e dt no integral original:
I = integral cos x,dxraiz1+sin^2 x = integral dtraiz1+t^2

Passo 4

Reconhecemos que
integral dtraiz1+t^2 = arcsinh(t) + C,
onde arcsinh(t) é a função inversa da senh. Voltando à variável x com t=sin x, concluímos
I = arcsinh(sin x) + C

Resposta

arcsinh(sin x) + C

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