Aplicando as substituições indicadas, calcule:
integral d xx raiz1+x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral dxxraiz1+x^2
usando a substituição u=raiz1+x^2. Vamos derivar u em função de x e reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 2

Aplicando
u = raiz1+x^2 Longrightarrow u^2 = 1+x^2 Longrightarrow x^2 = u^2 - 1
Diferenciando em relação a x:
2u,du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = u,du

Passo 3

Reescrevemos a integral original:
integral dxxraiz1+x^2 = integral dxx,u
Substituindo x,dx = u,du e x^2 = u^2-1, temos
dxx,u = u,dux^2,u = dux^2 = duu^2-1
Logo a integral passa a ser
integral duu^2-1

Passo 4

Para integrar integral duu^2-1, usamos frações parciais:
1u^2-1 = 12l(1u-1-1u+1r)
Então
integral duu^2-1 = 12integrall(1u-1-1u+1r)du = 12lnl|u-1u+1r| + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=raiz1+x^2, obtemos a antiderivada
12lnl|raiz1+x^2-1raiz1+x^2+1r| + C

Resposta

12lnl|raiz1+x^2-1raiz1+x^2+1r| + C

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