Aplicando substituições trigonomētricas, encontre:
integral raizx^2+1x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raizx^2+1x,dx
usando substituições trigonométricas (ou hiperbólicas). Aqui vamos empregar a substituição hiperbólica
x = sinh t,
pois isso simplifica raizx^2+1 para cosh t.

Passo 2

Fazendo x = sinh t, temos
dx = cosh t,dt,
e
raizx^2+1 = raizsinh^2 t + 1 = cosh t
Substituindo na integral original:
integral raizx^2+1x,dx = integral cosh tsinh t,l(cosh t,dtr) = integral cosh^2 tsinh t,dt

Passo 3

Repare que
logo
Então a integral em separa-se em

Passo 4

Calculamos cada parte:
Somando e juntando as constantes, obtemos

Passo 5

Retornando à variável x:
t = arsinh(x), então cosh t = raizx^2+1.
Além disso
tanht2 = sinh t1 + cosh t = x1 + raizx^2+1
Logo
lnl|tanht2r| = lngl|x1+raizx^2+1gr|
Portanto
integral raizx^2+1x,dx = lngl|x1+raizx^2+1gr| ;+;raizx^2+1;+;C

Resposta

boxed integral raizx^2+1x,dx = raizx^2+1 ;-;lnl|x+raizx^2+1r| ;+;C,
que é equivalente à forma
raizx^2+1 + ln!l|tfracx1+raizx^2+1r| + C.

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