Aplicando as substituições indicadas, calcule:
integral 1+x1+raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1 + x1 + raizx,dx
Usaremos o método de substituição para eliminar o radical, seguido de divisão de polinômios e integração termo a termo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx, x = t^2, dx = 2t,dt
Assim, a integral em x passa a ser em t.

Passo 3

Substituindo x=t^2 e dx=2t,dt no integrando,
1+x1+raizx,dx = 1+t^21+t,l(2t,dtr) = 2t,t^2+1t+1,dt

Passo 4

Para simplificar t^2+1t+1, fazemos divisão de polinômios:
t^2+1 = (t+1)(t-1) + 2 Longrightarrow t^2+1t+1 = t-1 + 2t+1
Logo,
2t,t^2+1t+1 = 2tl(t-1 + 2t+1r) = 2t^2 - 2t + 4tt+1

Passo 5

Escrevemos a integral como soma de três termos:
integral l(2t^2 - 2t + 4tt+1r),dt = integral 2t^2,dt - integral 2t,dt + integral 4tt+1,dt

Passo 6

Calculamos cada parte:
1. integral 2t^2,dt = 23t^3 2. integral 2t,dt = t^2 3. Para integral 4tt+1,dt, note que t = (t+1)-1, então
4tt+1 = 4l(1 - 1t+1r) = 4 - 4t+1,
e
integral 4tt+1,dt = integral 4,dt - integral 4t+1,dt = 4t - 4lnl|t+1r|
Somando tudo:
integral l(2t^2 - 2t + 4tt+1r),dt = 23t^3 - t^2 + 4t - 4lnl|t+1r| + C

Passo 7

Voltando à variável x com t = raizx:
23(raizx)^3 - (raizx)^2 + 4raizx - 4lnl(1 + raizxr) + C = 23x^3/2 - x + 4raizx - 4lnl(1+raizxr) + C

Resposta

integral 1 + x1 + raizx,dx = 23x^3/2 - x + 4raizx - 4lnl(1+raizxr) + C

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