Verifique se a função dada é solução da equação diferencial
y^prime prime-y^prime+2 y=0 ; y(t)=e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função y(t) = e^-2t é uma solução da equação diferencial dada por y'' - y' + 2y = 0 . Então, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas da função. Para resolver isso, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y(t) e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de y(t) . A derivada de e^kt em relação a t é k e^kt . Aqui, k = -2 , então:
y'(t) = ddt ( e^-2t ) = -2 e^-2t

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y(t) . Para isso, derivamos y'(t) :
y''(t) = ddt ( -2 e^-2t ) = (-2) times (-2) e^-2t = 4 e^-2t

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir y(t) , y'(t) e y''(t) na equação diferencial y'' - y' + 2y = 0 :
y'' - y' + 2y = 4 e^-2t - (-2 e^-2t) + 2 e^-2t

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
4 e^-2t + 2 e^-2t + 2 e^-2t = (4 + 2 + 2) e^-2t = 8 e^-2t

Passo 6

A equação ficou igual a 8 e^-2t . Para que y(t) = e^-2t seja uma solução da equação diferencial, o lado esquerdo deveria ser igual a zero. Mas 8 e^-2t não é zero para nenhum valor de t .

Resposta

Não, a função y(t) = e^-2t não é uma solução da equação diferencial y'' - y' + 2y = 0 .

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