Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
integralC y4 x^2+y^2 d x-x4 x^2+y^2 d y
em que C é o círculo x^2+y^2=4 orientado no sentido anti-horário. Resp.: -pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC P,dx + Q,dy,
onde
P(x,y)=y4x^2+y^2, Q(x,y)=-x4x^2+y^2,
e C é o círculo x^2+y^2=4 orientado anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green em uma região anelar, pois P e Q são singulares em (0,0).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl(-x4x^2+y^2r) =4x^2-y^2(4x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(y4x^2+y^2r) =4x^2-y^2(4x^2+y^2)^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0
Se retirarmos um disco pequeno de raio varepsilon em volta da origem, o Teorema de Green na região anelar dá
ointC!2P,dx+Q,dy ;+; ointCvarepsilonP,dx+Q,dy ;=;0,
onde C2 é o círculo de raio 2 (o C original) e Cvarepsilon é o círculo interno, orientado clockwise. Isso implica
ointCP,dx+Q,dy =ointCvarepsilonP,dx+Q,dy
desde que revertamos a orientação de Cvarepsilon para anti-horário.

Passo 3

Parametrizamos o círculo interno (agora com orientação anti-horário) por
x=varepsiloncostheta, y=varepsilonsintheta, thetain[0,2pi],
então
dx=-varepsilonsintheta,dtheta, dy=varepsiloncostheta,dtheta,
e
4x^2+y^2 =varepsilon^2l(4cos^2theta+sin^2thetar)
Substituindo em P,dx+Q,dy e simplificando em varepsilon, obtemos
P,dx+Q,dy =-14cos^2theta+sin^2theta,dtheta

Passo 4

Fica então
ointCP,dx+Q,dy =integral0^2pi!l(-14cos^2theta+sin^2thetar)dtheta =-integral0^2pidtheta4cos^2theta+sin^2theta
Usamos a fórmula padrão
integral0^2pidthetaacos^2theta+bsin^2theta =2piraizab,
com a=4 e b=1, daí
integral0^2pidtheta4cos^2theta+sin^2theta =2piraiz4cdot1=2pi2=pi
Portanto
ointCP,dx+Q,dy=-pi

Resposta

-pi

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