Aplicando o Teorema de Green, calcule a integral
em que
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é o círculo
orientado anti-horário. Vamos aplicar o Teorema de Green em uma região anelar, pois
e
são singulares em
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Logo
Se retirarmos um disco pequeno de raio
em volta da origem, o Teorema de Green na região anelar dá
onde
é o círculo de raio
(o
original) e
é o círculo interno, orientado clockwise. Isso implica
desde que revertamos a orientação de
para anti-horário.
Passo 3
Parametrizamos o círculo interno (agora com orientação anti-horário) por
então
e
Substituindo em
e simplificando em
, obtemos
Passo 4
Fica então
Usamos a fórmula padrão
com
e
, daí
Portanto