Recentemente, um grande esforço tem sido feito para despoluir o Lago Paranoá, que tem aproximadamente volume V=500 times 10^6 m^3 e vazão v=10^6 m^3 / dia. Denotando por q(t) a quantidade de detritos no instante t, suponha q(0)=0,20 V kg e que se queira reduzir essa quantidade para um valor inferior a 0,10 V. Para isso, pretende-se que o lançamento de detritos seja limitado a uma concentração de 0,05 kg / m^3. Seriam então lançados 0,05 v kg de detritos por dia no lago, e retirados (q(t) / V) v kg por dia. Nesse caso, a taxa de variação q^prime(t) é igual à quantidade que entra menos a quantidade que sai de detritos por dia.
a) Obtenha uma equação diferencial satisfeita pela função q(t).

Resposta:

square
b) Obtenha a expressão de q(t) usando o item anterior e a condição inicial q(0)=0,20 V.

Resposta:

square
c) Usando a aproximação ln (3)=1,1, determine o instante t0 para o qual q(t0)=0,1 V.

Resposta:

square
d) Calcule o limite lim t infty q(t).

Resposta:

square

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de mistura perfeita num lago de volume constante V com fluxo de água de entrada e saída igual a v. A concentração de detritos na entrada é limitada a 0,05,kg/ m^3, o que corresponde a uma taxa de entrada de detritos constante igual a 0,05,v kg/dia. Na saída, a concentração de detritos é a mesma do lago, ou seja, q(t)V, gerando uma taxa de saída q(t)V,v. Queremos formular e resolver a equação diferencial dqdt = entrada - saídaí para q(t).

Passo 2

A taxa de entrada de detritos é
0,05,v
e a taxa de saída é
q(t)V,v
Logo, a equação diferencial é
dqdt = 0,05,v ;-;vV,q(t)

Passo 3

Escrevendo em forma padrão,
dqdt + vV,q = 0,05,v
É uma EDO linear de coeficientes constantes. A solução geral é
q(t) = C,e^-vVt + 0,05,vtfracvV = C,e^-vVt + 0,05,V

Passo 4

Usando q(0)=0,20,V,
0,20,V = C + 0,05,V Longrightarrow C = 0,15,V
Portanto
q(t) = 0,05,V + 0,15,V,e^-vVt
Como tfracvV=tfrac10^6500times10^6=tfrac1500, fica
q(t) = 0,05,V + 0,15,V,e^-t/500

Passo 5

Para achar t0 tal que q(t0)=0,10,V, impomos
0,05,V + 0,15,V,e^-t0/500 = 0,10,V Longrightarrow 0,15,e^-t0/500 = 0,05 Longrightarrow e^-t0/500 = tfrac13
Logo
-t0500 = ln!l(tfrac13r) = -ln3 Longrightarrow t0 = 500,ln3 approx 500times1,1 = 550 dias

Passo 6

Quando ttoinfty, o termo exponencial tende a zero e
limttoinftyq(t) = 0,05,V

Resposta

a) dqdt = 0,05,v - vV,q(t)
b) q(t) = 0,05,V + 0,15,V,e^-t/500
c) t0 = 500,ln3 approx 550 dias
d) limttoinftyq(t) = 0,05,V

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