Recentemente, um grande esforço tem sido feito para despoluir o Lago Paranoá, que tem aproximadamente volume
e vazão
dia. Denotando por
a quantidade de detritos no instante
, suponha
kg e que se queira reduzir essa quantidade para um valor inferior a
. Para isso, pretende-se que o lançamento de detritos seja limitado a uma concentração de
. Seriam então lançados
de detritos por dia no lago, e retirados
kg por dia. Nesse caso, a taxa de variação
é igual à quantidade que entra menos a quantidade que sai de detritos por dia.
a) Obtenha uma equação diferencial satisfeita pela função
.
Resposta:
b) Obtenha a expressão de
usando o item anterior e a condição inicial
.
Resposta:
c) Usando a aproximação
, determine o instante
para o qual
.
Resposta:
d) Calcule o limite
.
Resposta:
a) Obtenha uma equação diferencial satisfeita pela função
b) Obtenha a expressão de
c) Usando a aproximação
d) Calcule o limite
Passo 1
O enunciado descreve um modelo de mistura perfeita num lago de volume constante
com fluxo de água de entrada e saída igual a
. A concentração de detritos na entrada é limitada a
,kg/
, o que corresponde a uma taxa de entrada de detritos constante igual a
kg/dia. Na saída, a concentração de detritos é a mesma do lago, ou seja,
, gerando uma taxa de saída
. Queremos formular e resolver a equação diferencial
para
.
Passo 2
A taxa de entrada de detritos é
e a taxa de saída é
Logo, a equação diferencial é
Passo 3
Escrevendo em forma padrão,
É uma EDO linear de coeficientes constantes. A solução geral é
Passo 4
Usando
,
Portanto
Como
, fica
Passo 5
Para achar
tal que
, impomos
Logo
Passo 6
Quando
, o termo exponencial tende a zero e
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)