Questão 2:(VALOR :5.0) Resolva a E.D.O
y^prime prime+4 y^prime-2 y=2 x^2-3 x+6

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa resolver a E.D.O.
y'' + 4y' - 2y = 2x^2 - 3x + 6
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo.
O que vamos usar:
  • método da solução geral = solução homogênea + solução particular;
  • equação característica para achar a parte homogênea;
  • método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Resolver a parte homogênea
y'' + 4y' - 2y = 0
  1. A gente monta a equação característica trocando r^2 + 4r - 2 = 0 , r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-2)2 = -4 pm raiz16 + 82 = -4 pm raiz242 = -2 pm raiz6 , yh(x) = C1 e^(-2 + raiz6),x + C2 e^(-2 - raiz6),x, :
  1. Usamos a fórmula de Bhaskara para achar :
  1. Assim a solução homogênea é
onde e são constantes.

Passo 3

Encontrar uma solução particular y'' + 4y' - 2y = 2x^2 - 3x + 6 para
yp(x) = A x^2 + B x + C
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2, a gente supõe
yp' = 2A x + B, yp'' = 2A
Calcula as derivadas:
(2A) + 4(2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = 2x^2 - 3x + 6
Substitui na E.D.O.:
2A + 8Ax + 4B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C = 2x^2 - 3x + 6
Desenvolvendo:
yp(x) = -x^2 - tfrac52 x - 9
Agrupa termos semelhantes em , e constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolve o sistema:
  1. .
  2. .
  3. .
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Passo 4

Solução geral = y(x) = C1 e^(-2 + raiz6)x + C2 e^(-2 - raiz6)x ;-; x^2 - tfrac52 x - 9 :

Resposta

boxedy(x) = C1 e^(-2 + raiz6)x + C2 e^(-2 - raiz6)x ;-; x^2 - 52,x - 9

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