Aplicando o TFC-1, encontre as seguintes derivadas:
dd x[integral2^tan x 11+t^2 d t]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de uma integral definida onde o limite superior é uma função de x . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 (TFC-1). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar integrais cujo limite depende de x .

Passo 2

Vamos começar identificando a integral que temos:
ddx[integral2^tan x 11+t^2 , dt]
Aqui, a integral vai de 2 até tan x , e a função dentro da integral é 11+t^2 .

Passo 3

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, se temos uma função F(x) = integrala^g(x) f(t) , dt , então a derivada de F(x) em relação a x é:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x)
Isso significa que para derivar a integral, a gente avalia a função dentro da integral no limite superior g(x) e multiplica pela derivada desse limite.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • f(t) = 11+t^2
  • g(x) = tan x
Então, a derivada fica:
11+(tan x)^2 cdot ddx (tan x)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Avaliar f em g(x) :
11+(tan x)^2
  1. Derivar g(x) = tan x :
ddx (tan x) = sec^2 x

Passo 6

Multiplicando as duas partes:
11+(tan x)^2 cdot sec^2 x
Sabemos que 1 + tan^2 x = sec^2 x , então substituindo:
1sec^2 x cdot sec^2 x = 1

Resposta

A derivada procurada é 1 .

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