Calcule as seguintes integrais:
integral0^2 x^2 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2 x^2e^x,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que nos permite reduzir o grau do polinômio multiplicando pela exponencial.

Passo 2

Aplicamos integração por partes à integral indefinida
integral x^2e^x,dx
Escolhendo
u = x^2, dv = e^x,dx
temos
du = 2x,dx, v = e^x
Logo,
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx

Passo 3

Ainda falta calcular integral 2x,e^x,dx. De novo, por partes, tomamos
u = 2x, dv = e^x,dx
de modo que
du = 2,dx, v = e^x
Assim,
integral 2x,e^x,dx = 2x,e^x - integral 2,e^x,dx = 2x,e^x - 2e^x
Substituindo de volta, obtemos o antiderivado geral
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - l(2x,e^x - 2e^xr) + C = e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C

Passo 4

Agora fazemos a integral definida de 0 a 2. Chamando
F(x) = e^xl(x^2 - 2x + 2r),
temos
integral0^2 x^2e^x,dx = F(2) - F(0)
Calculando:
F(2) = e^2l(4 - 4 + 2r) = 2e^2, F(0) = e^0l(0 - 0 + 2r) = 2
Portanto,
integral0^2 x^2e^x,dx = 2e^2 - 2

Resposta

integral0^2 x^2e^x,dx = 2e^2 - 2

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