Aplicando a transformação no cilindro , obtemos o cilindro oblíquo . Calcule o volume de .
Passo 1
O enunciado pede o volume do cilindro oblíquo que é imagem do cilindro reto pelo mapeamento linear . O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis em integrais de volume, usando o Jacobiano.
Passo 2
Para calcular o volume de , usamos a fórmula de mudança de variáveis:
Passo 3
Vamos obter a matriz Jacobiana de T. Como
x=u+w, y=v+w, z=w,
o Jacobiano é a matriz das derivadas parciais:
JT=partial(x,y,z)partial(u,v,w)=1&0&10&1&10&0&1
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz. Por expansão triangular,
det JT=1cdot1cdot1=1
Isso mostra que T preserva volumes.
Passo 5
O volume de C é o da base circular de raio r vezes a altura h, ou seja