Aplicando a transformação T(u, v, w)=(u+w, v+w, w) no cilindro C=(u, v, w): 0 <= w <= h, u^2+v^2 <= r^2, obtemos o cilindro oblíquo Co=(x, y, z): 0 <= z <= h,(x-z)^2+(y-z)^2 <= r^2. Calcule o volume de Co.

Passo 1

O enunciado pede o volume do cilindro oblíquo Co que é imagem do cilindro reto C pelo mapeamento linear T(u,v,w)=(u+w,v+w,w). O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis em integrais de volume, usando o Jacobiano.

Passo 2

Para calcular o volume de Co, usamos a fórmula de mudança de variáveis:
Vol(Co)=integral triplaCl|det JT(u,v,w)r|,dudvdw

Passo 3

Vamos obter a matriz Jacobiana de T. Como
x=u+w, y=v+w, z=w,
o Jacobiano é a matriz das derivadas parciais:
JT=partial(x,y,z)partial(u,v,w)=1&0&10&1&10&0&1

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz. Por expansão triangular,
det JT=1cdot1cdot1=1
Isso mostra que T preserva volumes.

Passo 5

O volume de C é o da base circular de raio r vezes a altura h, ou seja
Vol(C)=pi r^2h
Como det JT=1, temos
Vol(Co)=1timesVol(C)=pi r^2h

Resposta

pi r^2h

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