Calcule a integral integral0^pi / 2 integralx^pi integral1^3 sin (y^2) d z d y d x
Dica: Inverta a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla integral0^pi/2!integralx^pi!integral1^3 sin(y^2),dz,dy,dx. O conteúdo envolve troca de ordem de integração e o fato de que a função integranda não depende de x nem de z.

Passo 2

Primeiro, integramos em z mantendo x e y fixos. Como sin(y^2) não depende de z:
integral1^3 sin(y^2),dz = (3-1),sin(y^2)=2sin(y^2)
Então a integral vira
2integral0^pi/2!integralx^pi sin(y^2),dy,dx

Passo 3

Para inverter a ordem em x e y, descrimos o domínio em xy-plano:
0<= x<= pi/2 e x<= y<= pi. Equivalente a
0<= y<= pi, 0<= x<= min(y,pi/2)

Passo 4

Com isso a integral fica
2integraly=0^pi!integralx=0^min(y,pi/2) sin(y^2),dx,dy
Como o limite em x depende de y, separamos em dois casos: 0<= y<= pi/2 ( xin[0,y]) e pi/2<= y<= pi ( xin[0,pi/2]).

Passo 5

Fazendo a integral em x em cada parte:
2l(integral0^pi/2!l(integral0^y dxr)sin(y^2),dy + integralpi/2^pi!l(integral0^pi/2 dxr)sin(y^2),dyr) =2l(integral0^pi/2 ysin(y^2),dy + pi2integralpi/2^pi sin(y^2),dyr)

Passo 6

Para a parte integral0^pi/2 ysin(y^2),dy, usamos a substituição u=y^2, du=2y,dy:
integral0^pi/2 ysin(y^2),dy = 12integral0^pi^2/4 sin(u),du = 12l(1-cos(tfracpi^24)r)

Passo 7

Substituindo de volta, a integral total é
2l(tfrac12(1-cos(tfracpi^24)) + tfracpi2integralpi/2^pi sin(y^2),dyr) =1-cosl(tfracpi^24r)+piintegralpi/2^pi sin(y^2),dy

Passo 8

A integral integralpi/2^pisin(y^2),dy não possui forma elementar e pode ser mantida nesse formato ou descrita em termos de integral de Fresnel.

Resposta

1 - cosl(tfracpi^24r) + piintegralpi/2^pi sin(y^2),dy

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