Uma dilatação em R^3 é uma função varphi: R^3 R^3 tal que varphi(x, y, z)=c(x, y, z) forall(x, y, z) in R^3, onde c é uma constante positiva. Mostre que, se Omega é um subconjunto de R^3 com volume, o volume V(varphi(Omega)) de varphi(Omega) se relaciona com o volume V(Omega) de Omega por
V(varphi(Omega))=c^3 V(Omega)

Passo 1

O enunciado define a dilatação em R^3 por
varphi(x,y,z)=c,(x,y,z),
onde c>0. Precisamos mostrar que, para qualquer conjunto OmegasubsetR^3 com volume bem definido, vale
V(varphi(Omega)) = c^3,V(Omega)
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Mudança de Variáveis em integrais múltiplas, usando o Jacobiano.

Passo 2

Por definição de volume via integral de Lebesgue (ou integral de Riemann para domínios regulares), temos
V(varphi(Omega)) = integral triplavarphi(Omega) 1 ,dV
Para aplicar mudança de variáveis, fazemos a substituição u=varphi(x), ou seja,
u1 = c,x1, u2 = c,x2, u3 = c,x3

Passo 3

O Teorema de Mudança de Variáveis diz que
integral triplavarphi(Omega) 1 ,dVu = integral triplaOmega 1;l|det Dvarphi(x)r|,dVx
Aqui Dvarphi(x) é a matriz Jacobiana da transformação varphi.

Passo 4

Calculamos a Jacobiana:
Dvarphi(x,y,z) = partial (c x)partial x & 0 & 0 0 & partial (c y)partial y & 0 0 & 0 & partial (c z)partial z =c&0&00&c&00&0&c,
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det Dvarphi = ccdot ccdot c = c^3

Passo 5

Substituindo no integral,
V(varphi(Omega)) = integral triplaOmega l|det Dvarphi(x)r|,dVx = integral triplaOmega c^3,dVx = c^3 ,integral triplaOmega 1,dVx = c^3,V(Omega)

Resposta

V(varphi(Omega)) = c^3,V(Omega).

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