Uma dilatação em é uma função tal que , onde é uma constante positiva. Mostre que, se é um subconjunto de com volume, o volume de se relaciona com o volume de por
Passo 1
O enunciado define a dilatação em por
onde . Precisamos mostrar que, para qualquer conjunto com volume bem definido, vale
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Mudança de Variáveis em integrais múltiplas, usando o Jacobiano.
Passo 2
Por definição de volume via integral de Lebesgue (ou integral de Riemann para domínios regulares), temos
Para aplicar mudança de variáveis, fazemos a substituição , ou seja,
Passo 3
O Teorema de Mudança de Variáveis diz que
Aqui Dvarphi(x) é a matriz Jacobiana da transformação varphi.
Passo 4
Calculamos a Jacobiana:
Dvarphi(x,y,z) = partial (c x)partial x & 0 & 0 0 & partial (c y)partial y & 0 0 & 0 & partial (c z)partial z =c&0&00&c&00&0&c,
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det Dvarphi = ccdot ccdot c = c^3
Passo 5
Substituindo no integral,
V(varphi(Omega)) = integral triplaOmega l|det Dvarphi(x)r|,dVx = integral triplaOmega c^3,dVx = c^3 ,integral triplaOmega 1,dVx = c^3,V(Omega)