A integral integral-infty^infty e^-t^2 d t é definida como o limite lim a infty integral-a^a e^-t^2 d t. Considere o quadrado Qa=(x, y, z):-a <= x <= a,-a <= y <= a e os círculos Ca^-=(x, y): x^2+y^2 <= a^2 e Ca^+=(x, y, z): x^2+y^2 <= 2 a^2.
Mostre que integral duplaCa^- e^-x^2-y^2 d x d y <= integral duplaQa e^-x^2-y^2 d x d y <= integral duplaCa^+ e^-x^2-y^2 d x d y.

Passo 1

No enunciado a gente tem o quadrado Qa=[-a,a]times[-a,a] e os círculos Ca^- =(x,y):x^2+y^2<= a^2 e Ca^+=(x,y):x^2+y^2<= 2a^2. O que queremos mostrar é a desigualdade entre as integrais duplas de e^-x^2-y^2 nesses domínios.

Passo 2

Para começar, observe que se (x,y)in Ca^- então x^2+y^2<= a^2. Daí segue que |x|<= a e |y|<= a, ou seja, (x,y)in Qa. Logo
Ca^-subset Qa

Passo 3

Por outro lado, se (x,y)in Qa então |x|<= a e |y|<= a, o que implica x^2+y^2<= a^2+a^2=2a^2. Assim
Qasubset Ca^+

Passo 4

Como a função f(x,y)=e^-x^2-y^2 é positiva em todo o plano, podemos usar o fato de que, para domínios D1subset D2, vale
integral duplaD1f<=integral duplaD2f

Passo 5

Aplicando essa propriedade primeiro a Ca^-subset Qa e depois a Qasubset Ca^+, obtemos exatamente
integral duplaCa^-e^-x^2-y^2dx,dy<=integral duplaQae^-x^2-y^2dx,dy<=integral duplaCa^+e^-x^2-y^2dx,dy

Resposta

integral duplaCa^-e^-x^2-y^2dx,dy<=integral duplaQae^-x^2-y^2dx,dy<=integral duplaCa^+e^-x^2-y^2dx,dy

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