Aplicar o Método de Newton-Raphson a f(x)=x^{3}-2 x^{2}-3 x+10 e f(x)=x^{2}-\cos (x) \operatorname{com} x_{0}=1.9 e erro \leq 0.001.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o Método de Newton–Raphson (NR) para aproximar raízes das duas funções abaixo usando o mesmo chute inicial e parada por erro:
  • Função (a): f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x+10.
  • Função (b): f(x)=x^{2}-\cos(x).
    Dados fornecidos:
  • chute inicial x_{0}=1{,}9;
  • tolerância de erro desejada \leq 0{,}001.
As perguntas implícitas são: para cada função, a sequência de iterações pelo método de Newton-Raphson até que o critério de erro seja satisfeito e qual é a aproximação final da raiz.

Passo 2

O que é o Método de Newton–Raphson e fórmula usada.
  • Ideia rápida: partir de um chute x_n e aproximar a raiz por meio da tangente da curva y=f(x) em x_n. A interseção dessa tangente com o eixo x dá o próximo chute x_{n+1}.
  • Fórmula do método:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui f'(x) é a derivada de f; ela mede a inclinação da reta tangente em cada ponto.
  • Critério de parada escolhido: usar a diferença entre iterações consecutivas como estimativa do erro. Ou seja, parar quando
|x_{n+1}-x_{n}|\le 0{,}001.
Motivo: é uma verificação simples e prática na prova; garante que a aproximação mudou pouco entre passos.

Passo 3

Preparação para a função (a): derivada e observação útil.
  • Função: f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x+10.
  • Derivada: f'(x)=3x^{2}-4x-3.
  • Observação algébrica (útil para calcular f(x) mais rápido): o polinômio fatoriza como
x^{3}-2x^{2}-3x+10=(x+2)(x^{2}-4x+5).
Isso facilita avaliar f(x) sem elevar muito os números.
Agora aplicamos Newton passo a passo com x_{0}=1{,}9.

Passo 4

Iteração 0 \to 1 para (a).
  • x_{0}=1{,}9.
  • Calcule f(x_{0}):
f(1{,}9)=1{,}9^{3}-2(1{,}9)^{2}-3(1{,}9)+10=3{,}939.
  • Calcule f'(x_{0}):
f'(1{,}9)=3(1{,}9)^{2}-4(1{,}9)-3=0{,}23.
  • Aplicando a fórmula:
x_{1}=1{,}9-\frac{3{,}939}{0{,}23}\approx -15{,}22173913.
Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx 17{,}1217 (muito grande, mas seguimos).

Passo 5

Iteração 1 \to 2 para (a).
  • x_{1}\approx -15{,}22173913.
  • Usando a fatoração (x+2)(x^{2}-4x+5) para f:
f(x_{1})\approx -3{,}934{,}634{,}5\quad(\text{aprox.}),
  • f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-4x_{1}-3\approx 752{,}990{,}3.
  • Atualização:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx -15{,}22173913 -\frac{-3934{,}634{,}5}{752{,}990{,}3}\approx -9{,}99634.
Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx 5{,}2254.

Passo 6

Iteração 2 \to 3 para (a).
  • x_{2}\approx -9{,}99634.
  • f(x_{2})\approx -1{,}158{,}767.
  • f'(x_{2})\approx 336{,}7658.
  • Atualização:
x_{3}\approx -9{,}99634 -\frac{-1{,}158{,}767}{336{,}7658}\approx -6{,}5573.
Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx 3{,}439.

Passo 7

Iteração 3 \to 4 para (a).
  • x_{3}\approx -6{,}5573.
  • f(x_{3})\approx -338{,}2723.
  • f'(x_{3})\approx 152{,}2238.
  • Atualização:
x_{4}\approx -6{,}5573 -\frac{-338{,}2723}{152{,}2238}\approx -4{,}3347.
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx 2{,}2226.

Passo 8

Iteração 4 \to 5 para (a).
  • x_{4}\approx -4{,}3347.
  • f(x_{4})\approx -96{,}017.
  • f'(x_{4})\approx 70{,}7064.
  • Atualização:
x_{5}\approx -4{,}3347 -\frac{-96{,}017}{70{,}7064}\approx -2{,}9767.
Diferença |x_{5}-x_{4}|\approx 1{,}358.

Passo 9

Iteração 5 \to 6 para (a).
  • x_{5}\approx -2{,}9767.
  • f(x_{5})\approx -25{,}190.
  • f'(x_{5})\approx 35{,}4889.
  • Atualização:
x_{6}\approx -2{,}9767 -\frac{-25{,}190}{35{,}4889}\approx -2{,}2670.
Diferença |x_{6}-x_{5}|\approx 0{,}7097.

Passo 10

Iteração 6 \to 7 para (a).
  • x_{6}\approx -2{,}2670.
  • f(x_{6})\approx -5{,}1269.
  • f'(x_{6})\approx 21{,}4907.
  • Atualização:
x_{7}\approx -2{,}2670 -\frac{-5{,}1269}{21{,}4907}\approx -2{,}0284.
Diferença |x_{7}-x_{6}|\approx 0{,}2386.

Passo 11

Iteração 7 \to 8 para (a).
  • x_{7}\approx -2{,}0284.
  • f(x_{7})\approx -0{,}489.
  • f'(x_{7})\approx 17{,}4571.
  • Atualização:
x_{8}\approx -2{,}0284 -\frac{-0{,}489}{17{,}4571}\approx -2{,}00037.
Diferença |x_{8}-x_{7}|\approx 0{,}02803.

Passo 12

Iteração 8 \to 9 para (a) — condição de parada verificada.
  • x_{8}\approx -2{,}00037.
  • f(x_{8})\approx -0{,}00629.
  • f'(x_{8})\approx 17{,}00592.
  • Atualização:
x_{9}\approx -2{,}00037 -\frac{-0{,}00629}{17{,}00592}\approx -2{,}00000007.
Diferença |x_{9}-x_{8}|\approx 0{,}0003699\le 0{,}001, logo paramos.
  • Conclusão (a): o método convergiu para a raiz real \approx -2{,}00000007 (essa raiz, de fato, é exatamente -2 do fator x+2).

Passo 13

Agora a função (b): preparo e derivada.
  • Função: f(x)=x^{2}-\cos(x).
  • Derivada: f'(x)=2x+\sin(x).
  • Critério de parada: novamente |x_{n+1}-x_{n}|\le 0{,}001.
  • Começamos com x_{0}=1{,}9.

Passo 14

Iteração 0 \to 1 para (b).
  • x_{0}=1{,}9.
  • Avaliar f:
f(1{,}9)=1{,}9^{2}-\cos(1{,}9)=3{,}61-\cos(1{,}9)\approx 3{,}61-(-0{,}3232895669)=3{,}9332895669.
  • Avaliar f':
f'(1{,}9)=2(1{,}9)+\sin(1{,}9)=3{,}8+\sin(1{,}9)\approx 3{,}8+0{,}9463000877=4{,}7463000877.
  • Atualização:
x_{1}=1{,}9-\frac{3{,}9332895669}{4{,}7463000877}\approx 1{,}0714657.
Diferença |x_{1}-x_{0}|\approx 0{,}8285.

Passo 15

Iteração 1 \to 2 para (b).
  • x_{1}\approx 1{,}0714657.
  • Avaliar f(x_{1}) (usando identidades trigonométricas para precisão):
x_{1}^{2}\approx 1{,}14803915,\qquad \cos(x_{1})\approx 0{,}478871,
portanto
f(x_{1})\approx 1{,}14803915-0{,}478871=0{,}66916815.
  • Avaliar f'(x_{1}):
f'(x_{1})\approx 2(1{,}0714657)+\sin(1{,}0714657)\approx 2{,}1429314+0{,}877932\approx 3{,}0208634.
  • Atualização:
x_{2}\approx 1{,}0714657-\frac{0{,}66916815}{3{,}0208634}\approx 0{,}849865.
Diferença |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}2216.

Passo 16

Iteração 2 \to 3 para (b).
  • x_{2}\approx 0{,}849865.
  • Avaliar f(x_{2}):
x_{2}^{2}\approx 0{,}7222753,\qquad \cos(x_{2})\approx 0{,}660084,
logo
f(x_{2})\approx 0{,}7222753-0{,}660084=0{,}0621913.
  • Avaliar f'(x_{2}):
f'(x_{2})\approx 2(0{,}849865)+\sin(0{,}849865)\approx 1{,}69973+0{,}7511909\approx 2{,}450921.
  • Atualização:
x_{3}\approx 0{,}849865-\frac{0{,}0621913}{2{,}450921}\approx 0{,}824491.
Diferença |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}02537.

Passo 17

Iteração 3 \to 4 para (b) — condição de parada quase satisfeita.
  • x_{3}\approx 0{,}824491.
  • Avaliar f(x_{3}):
x_{3}^{2}\approx 0{,}67978517,\qquad \cos(x_{3})\approx 0{,}67892,
logo
f(x_{3})\approx 0{,}67978517-0{,}67892=0{,}00086517.
  • Avaliar f'(x_{3}):
f'(x_{3})\approx 2(0{,}824491)+\sin(0{,}824491)\approx 1{,}648982+0{,}734199\approx 2{,}383181.
  • Atualização:
x_{4}\approx 0{,}824491-\frac{0{,}00086517}{2{,}383181}\approx 0{,}824128.
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}000363<0{,}001. Portanto paramos.
  • Conclusão (b): a aproximação da raiz é \approx 0{,}824128.

Resposta

-2{,}00000007
0{,}824128

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