Aplicar o Método de Newton-Raphson a
e
e erro
.
Passo 1
O enunciado pede aplicar o Método de Newton–Raphson (NR) para aproximar raízes das duas funções abaixo usando o mesmo chute inicial e parada por erro:
- Função (a):
. - Função (b):
.
Dados fornecidos: - chute inicial
; - tolerância de erro desejada
.
As perguntas implícitas são: para cada função, a sequência de iterações pelo método de Newton-Raphson até que o critério de erro seja satisfeito e qual é a aproximação final da raiz.
Passo 2
O que é o Método de Newton–Raphson e fórmula usada.
- Ideia rápida: partir de um chute
e aproximar a raiz por meio da tangente da curva em . A interseção dessa tangente com o eixo dá o próximo chute . - Fórmula do método:
Aqui
é a derivada de
; ela mede a inclinação da reta tangente em cada ponto.
- Critério de parada escolhido: usar a diferença entre iterações consecutivas como estimativa do erro. Ou seja, parar quando
Motivo: é uma verificação simples e prática na prova; garante que a aproximação mudou pouco entre passos.
Passo 3
Preparação para a função (a): derivada e observação útil.
- Função:
. - Derivada:
. - Observação algébrica (útil para calcular
mais rápido): o polinômio fatoriza como
Isso facilita avaliar
sem elevar muito os números.
Agora aplicamos Newton passo a passo com
.
Passo 4
Iteração 0
1 para (a).
-
. - Calcule
:
- Calcule
:
- Aplicando a fórmula:
Diferença
(muito grande, mas seguimos).
Passo 5
Iteração 1
2 para (a).
-
. - Usando a fatoração
para :
-
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 6
Iteração 2
3 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 7
Iteração 3
4 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 8
Iteração 4
5 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 9
Iteração 5
6 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 10
Iteração 6
7 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 11
Iteração 7
8 para (a).
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
.
Passo 12
Iteração 8
9 para (a) — condição de parada verificada.
-
. -
. -
. - Atualização:
Diferença
, logo paramos.
- Conclusão (a): o método convergiu para a raiz real
(essa raiz, de fato, é exatamente do fator ).
Passo 13
Agora a função (b): preparo e derivada.
- Função:
. - Derivada:
. - Critério de parada: novamente
. - Começamos com
.
Passo 14
Iteração 0
1 para (b).
-
. - Avaliar
:
- Avaliar
:
- Atualização:
Diferença
.
Passo 15
Iteração 1
2 para (b).
-
. - Avaliar
(usando identidades trigonométricas para precisão):
portanto
- Avaliar
:
- Atualização:
Diferença
.
Passo 16
Iteração 2
3 para (b).
-
. - Avaliar
:
logo
- Avaliar
:
- Atualização:
Diferença
.
Passo 17
Iteração 3
4 para (b) — condição de parada quase satisfeita.
-
. - Avaliar
:
logo
- Avaliar
:
- Atualização:
Diferença
. Portanto paramos.
- Conclusão (b): a aproximação da raiz é
.